淺析“構(gòu)造法”在初等數(shù)論中的運(yùn)用

 “初等數(shù)論”中的構(gòu)造法
一般地說，“構(gòu)造法”就是針對(duì)所要解決的問題，構(gòu)造出這個(gè)問題或者它的等價(jià)問題的數(shù)學(xué)模型.構(gòu)造法在初等數(shù)論中的運(yùn)用主要分為以下幾類：
1.無窮性命題的證明
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得不僅是歐氏幾何的奠基人，而且也是數(shù)學(xué)上構(gòu)造法的創(chuàng)始人.在《幾何原本》中，他第一次用構(gòu)造法巧妙地證明了數(shù)論中以他的名字命名的基本定理“質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的”.
例1 證明：質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的.
證明 假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pn，則數(shù)p1，p2，…，pn都不整除p1p2…pn+1.于是數(shù)p1p2…pn+1的質(zhì)因數(shù)與p1，p2，…，pn都不相同.因而與假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pn矛盾.所以質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的.
這個(gè)證明的基本思路是：在假設(shè)只有有限個(gè)質(zhì)數(shù)的情形下，設(shè)法構(gòu)造一個(gè)新的與p1，p2，…，pn都不同的質(zhì)數(shù).但質(zhì)數(shù)不易構(gòu)造，轉(zhuǎn)而構(gòu)造一個(gè)合數(shù)，它不被p1，p2，…，pn整除.這樣的思路常用于證明某種數(shù)的無限性.再看下面的例子：
例2 證明：形如4k-1的質(zhì)數(shù)是無限的.
證明 仿照上述歐幾里得證明的思路，假設(shè)只有有限多個(gè)形如4k-1的質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pn，取數(shù)4p1p2…pn-1，這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)一定是奇數(shù)，即4k-1或4k+1的形式.形如4k+1的數(shù)，積也是4k+1的形式.而這個(gè)數(shù)4p1p2…pn-1是4k-1的形式，所以它至少有一個(gè)形如4k-1的質(zhì)因數(shù)p.顯然p與p1，p2，…，pn都不相同，矛盾！因此，形如4k-1的質(zhì)數(shù)是無限的.
2.存在性命題的證明
為了證明一個(gè)存在性命題，我們可以把滿足要求的對(duì)象構(gòu)造出來，使問題得到證明.
例3 對(duì)于任意給定的自然數(shù)n，證明：必有無窮多個(gè)自然數(shù)a，使n4+a為合數(shù).
證明 取a=4m4，則
n4+a=n4+4m4=n4+4m2n2+4m4-4m2n2=（2m2+n2）2-4m2n2=（2m2+n2-2mn）（2m2+n2+2mn）.
當(dāng)m>1時(shí)，2m2+n2-2mn=（m-n）2+m2>1，因此2m2+n2-2mn是n4+a的真因數(shù)，即n4+a為合數(shù).由m的任意性可知結(jié)論成立.
例4 證明：相鄰質(zhì)數(shù)之間的間隔可以任意地大，也就是對(duì)于任意的自然數(shù)n>1，總可以找到n個(gè)連續(xù)的合數(shù).
證明 設(shè)a=2×3×4×…×n×（n+1）=（n+1）！，則a+2，a+3，a+4，…，a+（n+1）是n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，并且分別含有真因數(shù)2，3，4，…，（n+1），因而都是合數(shù).
由于在（n+1）！+2前面的質(zhì)數(shù)與在（n+1）！+（n+1）后面的質(zhì)數(shù)的差≥n+1，且n可以任意選擇，所以相鄰質(zhì)數(shù)的差可以任意的大.
3.假命題的證明
為了論證一個(gè)命題假，我們可以舉出一個(gè)能使命題的條件成立但結(jié)論不成立的事例，即“反例”.
例5 設(shè)m=8n+9n2，當(dāng)n=1，3，5時(shí)m均為質(zhì)數(shù)，是否對(duì)每一個(gè)奇數(shù)n，m均為質(zhì)數(shù)？
解 答案是否定的.我們可以證明存在無窮多個(gè)奇數(shù)n，使m都為合數(shù).
取n=9k3，k是奇數(shù)，則m=8n+9n2=（2n）3+9（9k3）2=（2n）3+（9k2）3=（2n+9k2）（22n-2n·9k2+81k4），
顯然2n+9k2是m的真因數(shù)，所以m為合數(shù).
例6 迪波瓦爾（DeBouvelles）曾斷言：對(duì)所有n≥1，6n+1和6n-1中至少有一個(gè)是質(zhì)數(shù).他的斷言正確嗎？
解 他的斷言錯(cuò)了.取n=20， 則6n+1=121=11×11和6n-1=119=7×17都是合數(shù).并且我們可以證明有無窮多個(gè)n使6n+1和6n-1同時(shí)為合數(shù).取n=77k+20，這里k是整數(shù)，則6n+1=11（42k+11），6n-1=7（66k+17），可見6n+1和6n-1同時(shí)為合數(shù).
教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
在初等數(shù)論的解題過程中，若按習(xí)慣定式思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，教師要有意地引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)研究條件和結(jié)論的特征，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，使題目化歸為容易或已解決了的問題.掌握構(gòu)造法的關(guān)鍵是要鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想，反復(fù)嘗試尋求多種形式構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型化解難題.通過構(gòu)造法解題訓(xùn)練，可以使學(xué)生得到創(chuàng)造性體驗(yàn)，激活創(chuàng)造性思維，激發(fā)創(chuàng)造性靈感.
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