數(shù)學(xué)方法論下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

 數(shù)學(xué)教學(xué)首先要讓數(shù)學(xué)恢復(fù)其本來(lái)面目，恢復(fù)其創(chuàng)造過(guò)程中的形式，進(jìn)行所謂返璞歸真的改革，才能通過(guò)學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).當(dāng)然，要讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣親身來(lái)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造數(shù)學(xué)模式似乎不可能，但通過(guò)主動(dòng)建構(gòu)來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家發(fā)明與創(chuàng)造的喜悅是完全可能的.
一、“返璞歸真”的概念課
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，只有把概念理解透徹，牢固掌握，才能在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中游刃有余.因此，教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容的要求，努力揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意概念所反映對(duì)象的范圍，概念定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，概念定義中詞語(yǔ)的嚴(yán)密性，概念的語(yǔ)言表達(dá)方法，概念中的“特例”與“一般”，概念間的相互聯(lián)系等等，以此作為思維的展開(kāi)點(diǎn)，學(xué)生才能真正理解概念，掌握概念.
二、經(jīng)歷“再創(chuàng)造”，主動(dòng)建構(gòu)
著名數(shù)學(xué)家徐利治指出“無(wú)論是數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問(wèn)題，或方法，事實(shí)上都應(yīng)該被看成一種具有普遍意義的模式”.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，通過(guò)點(diǎn)典型例子的分析和主動(dòng)探索，逐步建立各種結(jié)構(gòu).
1.建立知識(shí)結(jié)構(gòu)
認(rèn)知心理學(xué)揭示了人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中不斷建構(gòu)的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與外界數(shù)學(xué)新情境基本相符時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)同化和順應(yīng)的方式來(lái)擴(kuò)大自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
如：a+b與ab是最基本的運(yùn)算形式，在二次方程中，兩根之和.兩根之積表達(dá)為根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)解決二次方程相關(guān)問(wèn)題的應(yīng)用之大，從初中起學(xué)生就感受很深.高中階段可進(jìn)一步發(fā)掘a+b，ab結(jié)構(gòu)式的運(yùn)用.
在三角公式中，a+b，ab可共存于兩角和的正切：
tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβtanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ）.
對(duì)于正余弦，sinα±cosα與sinαcosα經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換.
例1 （1）求tan70°+tan50°-3tan70°tan50°的值；
（2）已知sin2x+2（sinx+cosx）-22-1=0，求tanx；
（3）求函數(shù)y=sinx·cosx[]1+sinx+cosx的值域.
（解略）
進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)a+b與ab自身結(jié)構(gòu)變形：
（a±1）（b±1）=a·b±a±b+1有奇特的應(yīng)用場(chǎng)合.
例2 已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An， Bn ，那么數(shù)列{Anbn+Bnan-anbn}的前n項(xiàng)和是.
分析與解 對(duì)于a+b與ab可以構(gòu)造出（a±1）（b±1）.
據(jù)此，設(shè)新數(shù)列為Cn ，則
Cn=AnBn+Bnan-anbn=AnBn-AnBn+Anbn+Bnan-anbn=AnBn-（An-an）（Bn-bn）=AnBn-An-1Bn-1，n∈N，C1=A1B1-A0B0，
C2=A2B2-A1B1.
不妨設(shè)A0B0=0，則
C3=A3B3-A2B2；

Cn=AnBn-An-1Bn-1.
所以，
C1+C2+C3+…+Cn=AnBn-A0B0=AnBn.即{Anbn+Bnan-anbn}的前n項(xiàng)和是AnBn.
這樣，把學(xué)生原有的知識(shí)加以鞏固和深化，建立一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于新問(wèn)題的解決.
2.建立思想方法結(jié)構(gòu)
為了讓學(xué)生掌握新模式，傳統(tǒng)教法總是先做各種鋪墊，讓學(xué)生跟著老師的步子被動(dòng)地承認(rèn)與模仿，但最終還是改變不了知其然不知所以然的一知半解的局面，因此，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中探索，主動(dòng)建立數(shù)學(xué)思想方法結(jié)構(gòu)，從本質(zhì)上掌握各種新問(wèn)題.
例如建立目標(biāo)性解題思想方法結(jié)構(gòu).
所謂目標(biāo)性解題就是根據(jù)題目的條件，按明確的解題方向，一步步趨近于實(shí)現(xiàn)解題的結(jié)論，只要條件應(yīng)用得當(dāng)，思路與方法不錯(cuò)，也就能成功地作出解答.
例3 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2∈R，x1≠x2都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，且存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0使f（x0）=x0，數(shù)列{an}中，a1
（1）an分析 本題容易形成數(shù)學(xué)歸納法的解法，但如果把題設(shè)條件用起來(lái)，由目標(biāo)性解題的思想，可使證明顯得順利而簡(jiǎn)單.
證明 據(jù)題意，不妨設(shè)x1=an，x2=x0，則
|f（an）-f（x0）|<|an-x0|，
|2an+1-an-x0|<|an-x0|.
兩邊平方，化簡(jiǎn)，得
an+1（an+1-an）-x0（an+1-an）=（an+1-an）（an+1-x0）<0.（*）
所以， an（1）an+1an，n∈N.此即欲證之結(jié)論.
（2）an+1>x0，an+1x0矛盾，舍去.
所以，命題成立.
說(shuō)明 直接利用|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|的條件，結(jié)合f（an）=2an+1-an進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)，這就是目標(biāo)性解題思想的應(yīng)用，其中x1=an，x2=x0的關(guān)聯(lián)性代換以及對(duì)（*）的討論，顯得很重要、很關(guān)鍵.
在建立某一思想方法結(jié)構(gòu)后，學(xué)生就能將其滲透并貫穿于今后的問(wèn)題解決.這對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極有利的.
3.建立技巧結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)的解題能力之一，講究的就是變換、轉(zhuǎn)化、代換、化歸等技巧，這些的獲得，全在于對(duì)于基本概念的準(zhǔn)確把握與靈活運(yùn)用的同時(shí)，建立一定的技巧結(jié)構(gòu).
如代換技巧就有消元代換、參數(shù)代換、增量代換、三角代換、結(jié)構(gòu)代換等，靈活而有效地使用各種代換方法，使看起來(lái)不易解決的問(wèn)題能得到較為理想、較為滿(mǎn)意的解決.
例4 求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1，b>1，有不等式a2[]b-1+b2[]a-1≥8.
證明 設(shè)a=1+x，b=1+y， x，y∈R+，則
a2[]b-1+b2[]a-1=（1+x）2[]y+（1+y）2[]x≥（2x）2[]y+（2y）2[]x=4x[]y+y[]x≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)1=x=y，即a=b=2時(shí)取等號(hào).
說(shuō)明 該題采用了增量代換，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了.有了一定的解題技巧，在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)有事半功倍之效.
因此，數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)思想與學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特征結(jié)合起來(lái)，實(shí)踐于新課程改革下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的改善和老師的教法的逐步完善具有莫大的幫助和促進(jìn)作用.同時(shí)在教學(xué)中把教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造進(jìn)一步落到實(shí)處.