高中數(shù)學(xué)模型教學(xué)思考

 一、數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系客觀世界與數(shù)學(xué)的橋梁
在學(xué)習(xí)初等代數(shù)的時(shí)候，我們就已經(jīng)接觸過(guò)數(shù)學(xué)模型了.當(dāng)然，那些問(wèn)題是老師為了教會(huì)學(xué)生，而人為特意設(shè)置的.如我們以前解過(guò)這樣的所謂“航行問(wèn)題”.
例如：甲乙兩地相距750 km，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0 h，從乙到甲逆水航行需50 h，求船速、水速分別是多少？
設(shè)：用x，y分別表示船速和水速，可以列出方程：
（x+y）·30=750，（x-y）·50=750.
這組方程就是上述航行問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，列出方程，原問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，最終給出了航行問(wèn)題的答案.
所以，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)內(nèi)在規(guī)律作出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)模擬空間形式和數(shù)量關(guān)系的模型.廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)都可稱為數(shù)學(xué)模型，如：算術(shù)是計(jì)算盈虧的模型，幾何是物體外形的模型等.狹義地說(shuō)，只有反映特定問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才稱為數(shù)學(xué)模型，如一次函數(shù)是勻速直線運(yùn)動(dòng)的模型，不定方程是雞兔同籠問(wèn)題的模型等.
二、在探究問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)的思維方式和方法包括對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的過(guò)程，并在知識(shí)的增長(zhǎng)過(guò)程中發(fā)展了思維.在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究中，我們要注重領(lǐng)會(huì)用數(shù)學(xué)模型來(lái)優(yōu)化數(shù)學(xué)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題和創(chuàng)新思維的能力.
例如：要把數(shù)量不限的小球放在同一型號(hào)的箱內(nèi)，每個(gè)箱內(nèi)有10個(gè)格子，每一格放一個(gè)小球，這些箱子有的格子放有小球，而有的卻空著.如果有兩個(gè)箱子，它們至少一個(gè)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)格子，一個(gè)有，另一個(gè)沒(méi)有，那么，我們就認(rèn)為這兩個(gè)箱子不同.每個(gè)箱子最多放10個(gè)，最少放0個(gè)，問(wèn)可能有多少個(gè)這樣的箱子？
模型1 某建筑物裝有10盞燈，在同一時(shí)刻的每盞燈都可以開(kāi)或關(guān).現(xiàn)在用各種方法開(kāi)燈，兩種開(kāi)關(guān)方法只要有一盞燈的狀態(tài)不同（開(kāi)或關(guān)）就認(rèn)為是不同的開(kāi)法，所有的燈都關(guān)著也是一種開(kāi)法.問(wèn)有多少種開(kāi)法？
模型2 現(xiàn)有一個(gè)十列格子組成的長(zhǎng)方形表格，在每一行格子中都記有“+”號(hào)或“-”號(hào)，而行中只要有一個(gè)對(duì)應(yīng)格的符號(hào)不同，就認(rèn)為它們不同，問(wèn)計(jì)有不同符號(hào)的行有多少種？
模型3 數(shù)字0和數(shù)字1能組成多少不同的“十位數(shù)”（包括數(shù)字左邊出現(xiàn)的0的數(shù)也作為“十位數(shù)”）？
模型4 這個(gè)問(wèn)題解決已顯而易見(jiàn)，“十位數(shù)”的每一個(gè)位置只能是0或1兩種可能，共有210=1024種不同的可能.模型2中的表格最多有1024行.模型1中的電燈的開(kāi)法共有1024種.例子中箱子共有1024個(gè).例1可以用三個(gè)模型來(lái)轉(zhuǎn)換方式，使問(wèn)題由難變易，是一種行之有效的解題方法.
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練，有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和實(shí)踐能力，并為下一步利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
三、函數(shù)f（x）=ax+b（a，b>0）模型
對(duì)于這類模型應(yīng)用問(wèn)題，首先根據(jù)題意得出目標(biāo)函數(shù)，再把目標(biāo)函數(shù)變形為f（x）=ax+b（a，b>0）的形式，最后根據(jù)ax+b≥2ab（a，b>0）求出最優(yōu)值.
例如：假設(shè)森林發(fā)生火災(zāi)，火勢(shì)以每分鐘100 m2速度順風(fēng)蔓延，消防人員接到警報(bào)立即派消防隊(duì)員前往撲救，在火災(zāi)發(fā)生后五分鐘到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)，現(xiàn)已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘100元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而燒毀1 m2森林損失費(fèi)為60元，問(wèn)應(yīng)該派多少消防隊(duì)員前去救火，才能使總損失最少？
這樣的模型應(yīng)用題出現(xiàn)頻率較高，常常通過(guò)均值定理或函數(shù)的單調(diào)性求最值，此時(shí)要注意等號(hào)能否取到，必要時(shí)要討論求之.
高中數(shù)學(xué)模型思維方法包括了高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題過(guò)程，并隨著知識(shí)的不斷增長(zhǎng)逐步培養(yǎng)創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)模型化思維來(lái)探索知識(shí)的過(guò)程，通過(guò)對(duì)知識(shí)原型的分析、提煉、加深，不斷對(duì)原型的理解和概括，歸納原型的內(nèi)在特質(zhì)，再通過(guò)進(jìn)一步演繹推理來(lái)求解，深化了對(duì)原型的本質(zhì)特征和數(shù)量關(guān)系的理解.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力.
【參考文獻(xiàn)】
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