函數(shù)對稱性的探究

 一、函數(shù)自身的對稱性探究
定理1.函數(shù) y = f （x）的圖像關(guān)于點A （a ，b）對稱的充要條件是 f （x） + f （2a-x） = 2b 證明：（必要性）設(shè)點P（x ，y）是y = f （x）圖像上任一點，∵點P（ x ，y）關(guān)于點A （a ，b）的對稱點P‘（2a-x，2b-y）也在y = f （x）圖像上，∴ 2b-y = f （2a-x）
即y + f （2a-x）=2b故f （x） + f （2a-x） = 2b，必要性得證。
（充分性）設(shè)點P（x0，y0）是y = f （x）圖像上任一點，則y0 = f （x0）
∵ f （x） + f （2a-x） =2b∴f （x0） + f （2a-x0） =2b，即2b-y0 = f （2a-x0） 。
故點P‘（2a-x0，2b-y0）也在y = f （x） 圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A （a ，b）對稱，充分性得征。
推論：函數(shù) y = f （x）的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f （x） + f （-x） = 0
定理2. 函數(shù) y = f （x）的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是 f （a +x） = f （a-x） 即f （x） = f （2a-x） （證明留給讀者）
推論：函數(shù) y = f （x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f （x） = f （-x）
定理3. ①若函數(shù)y = f （x） 圖像同時關(guān)于點A （a ，c）和點B （b ，c）成中心對稱（a≠b），則y = f （x）是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個周期。
②若函數(shù)y = f （x） 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f （x）是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個周期。
③若函數(shù)y = f （x）圖像既關(guān)于點A （a ，c） 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f （x）是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數(shù)y = f （x）圖像既關(guān)于點A （a ，c） 成中心對稱，∴f （x） + f （2a-x） =2c，用2b-x代x得：
f （2b-x） + f [2a-（2b-x） ] =2c………………（*）又∵函數(shù)y = f （x）圖像直線x =b成軸對稱，
∴ f （2b-x） = f （x）代入（*）得：f （x） = 2c-f [2（a-b） + x]…………（**），用2（a-b）-x代x得f [2 （a-b）+ x] = 2c-f [4（a-b） + x]代入（**）得：f （x） = f [4（a-b） + x]，故y = f （x）是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個周期。
二、不同函數(shù)對稱性的探究
定理4. 函數(shù)y = f （x）與y = 2b-f （2a-x）的圖像關(guān)于點A （a ，b）成中心對稱。
定理5. ①函數(shù)y = f （x）與y = f （2a-x）的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。
②函數(shù)y = f （x）與a-x = f （a-y）的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。
③函數(shù)y = f （x）與x-a = f （y + a）的圖像關(guān)于直線x-y = a成軸對稱。
推論：函數(shù)y = f （x）的圖像與x = f （y）的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。
三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表
注：①上表中k∈Z②y = tan x的所有對稱中心坐標應(yīng)該是（kπ/2 ，0 ）
四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例
例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f （10+x）為偶函數(shù)，且f （5-x） = f （5+x），則f （x）一定是（ ）
（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) （B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)
（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)
解：∵f （10+x）為偶函數(shù)，∴f （10+x） = f （10-x）.
∴f （x）有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f （x）是以10為其一個周期的周期函數(shù)， ∴x =0即y軸也是f （x）的對稱軸，因此f （x）還是一個偶函數(shù)。故選（A）
例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f （x）、y = g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g（5） = 1999，那么f（4）=（ ）。
（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，
∴y = g-1（x-2） 反函數(shù)是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函數(shù)是：y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5）=2001，故f（4） = 2001，應(yīng)選（C）
例3.設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當-1≤x≤0時，f （x） = - x，則f （8.6 ） = _________
解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f（x）對稱軸；
又∵f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 對稱軸。故y = f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3
例4. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）= -f（x），當0≤x≤1時，f （x） = x，則f （7.5 ） = （ ）
（A） 0.5 （B）-0.5 （C） 1.5 （D） -1.5
解：∵y = f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；
又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直線x = 1是y = f （x） 對稱軸，故y = f （x）是周期為2的周期函數(shù)。
∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故選（B）