換元法在復積分中的應用-數(shù)學論文發(fā)表

摘要：工科復變函數(shù)是大學工科類專業(yè)的一門重要基礎課，它是高等數(shù)學內(nèi)容的延伸。與高等數(shù)學相比，在計算積分方法，積分性質等方面的存在巨大區(qū)別，在授課過程中，指出它們的區(qū)別和聯(lián)系將有利于加深學生對復積分的理解。

關鍵詞：復積分；曲線積分；換元法；

中圖分類號：O13

在復變函數(shù)的解析理論中，復積分是研究解析函數(shù)的重要工具，研究復級數(shù)理論的重要基礎，其計算方法多種多樣，學生很難系統(tǒng)理解和應用這一重要知識模塊。因此，在教學過程中，要靈活采用對比教學法，對所講授的復積分內(nèi)容進行縱橫對比，讓學生認清它們的異同，便于把握復積分理論與計算中的本質。本文著重對復積分與實積分的換元法進行對比研究，并給予總結。

先從一個具體的例子出發(fā)：試計算復積分 為 逆時針路徑。由于被積函數(shù)在 內(nèi)不解析，此題不能通過配元法（第一類換元）找原函數(shù)來解答。然而，可利用對數(shù)留數(shù)定理求解知，

另一方面，作變換 ，則將 映射為 ： 順時針路徑。

由此可見，在計算形如 的復積分時，往往不像計算定積分時，通過配元法計算，而是利用對數(shù)留數(shù)定理計算。另一方面，適當換元可以簡化復積分的計算，但換元過程中，曲線方向的確定是一個容易出錯的地方。

例2. 計算復積分分 為正向圓周 。

解：作變換 ，則將 映射為 ：反向圓周 。因此，

例3. 計算復積分分 為正向圓周 。

解：類似例2，作變換 ，可得

其中 為反向圓周 。

類似，還有許多復積分在變換 作用下，使計算更為簡單，比如

以及 等，其中積分路徑是正向圓周。

總之，通過作適當?shù)淖兞刻鎿Q化簡復積分的計算，是復積分計算中的重要方法。在教學過程中應要求學生掌握這些計算方法，著力培養(yǎng)其計算能力，進而更牢固掌握這些知識點。在學習復變函數(shù)的過程中，注意跟高等數(shù)學中的內(nèi)容及方法做比較，勢必會使我們的復變函數(shù)與積分變換的知識容易掌握的多。