分類討論思想在解題中的應用

 分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數(shù)學命題在高考試題中占有重要位置。
分類討論就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略。
分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決 分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏的分析討論 ”
分類討論思想就是依據(jù)一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則 分類討論常見的依據(jù)是 由概念內涵分類 如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類； 由公式條件分類 如等比數(shù)列的前n項和公式、極限的計算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等；由實際意義分類 如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應用問題也需分類討論 在學習中也要注意優(yōu)化策略，有時利用轉化策略，如反證法、補集法、變更多元法、數(shù)形結合法等簡化甚至避開討論
例1：設函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）設函數(shù) 對任意 ，有 ，且當 時， ； 求函數(shù) 在 上的解析式。
【解析】
（I）函數(shù) 的最小正周期 （2）當 時，
當 時，
當 時，
得：函數(shù) 在 上的解析式為
例2：數(shù)列 滿足：
（I）證明：數(shù)列 是單調遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）求 的取值范圍，使數(shù)列 是單調遞增數(shù)列。
【解析】
（I）必要條件
當 時， 數(shù)列 是單調遞減數(shù)列充分條件
數(shù)列 是單調遞減數(shù)列
得：數(shù)列 是單調遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）由（I）得：
①當 時， ，不合題意
②當 時，
當 時， 與 同號，
由
當 時，存在 ，使 與 異號
與數(shù)列 是單調遞減數(shù)列矛盾
得：當 時，數(shù)列 是單調遞增數(shù)列
例3 給出定點A（a，0）（a>0）和直線l x=–1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C 求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系
本題考查動點的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識，分類討論的思想方法 綜合性較強，解法較多，考查推理能力和綜合運用解析幾何知識解題的能力
解法一 依題意，記B（–1，b），（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=–bx
設點C（x，y），則有0≤x根據(jù)點到直線的距離公式得|y|= ①
依題設，點C在直線AB上，故有 ；由x–a≠0，得 ②
將②式代入①式，得y2[（1–a）x2–2ax+（1+a）y2]=0
若y≠0，則 （1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0若y=0則b=0，∠AOB=π，點C的坐標為（0，0）滿足上式
綜上，得點C的軌跡方程為（1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0（i）當a=1時，軌跡方程化為y2=x（0≤x<1） ③
此時方程③表示拋物線弧段；
（ii）當a≠1，軌跡方程化為
④
所以當0當a>1時，方程④表示雙曲線一支的弧段
解法二 設C（x，y）、B（–1，b），則BO的方程為y=–bx，
直線AB的方程為
∵當b≠0時，OC平分∠AOB，設∠AOC=θ，
∴直線OC的斜率為k=tanθ，OC的方程為y=kx于是
又tan2θ=–b ∴–b= ①
∵C點在AB上 ∴ ②
由①、②消去b，得 ③
又 ，代入③，有
整理，得（a–1）x2–（1+a）y2+2ax=0 ④
當b=0時，即B點在x軸上時，C（0，0）滿足上式
a≠1時，④式變?yōu)?br />當0當a>1時，④表示雙曲線一支的弧段；
當a=1時，④表示拋物線弧段
布魯納認為：“掌握數(shù)學思想和方法使得數(shù)學更容易理解和更容易記憶，更重要的是，領會基本思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路’”.因此，解題教學中不僅要揭示解題過程中蘊含的數(shù)學思想方法，更為重要的是要積極引導學生用數(shù)學思想方法幫助找到解題思路，它是能力的具體體現(xiàn)之一，是最高層次的教學要求，將使學生終身受益.