認(rèn)知差——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源動(dòng)力

 一、建構(gòu)認(rèn)知差，提供學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源動(dòng)力
所謂的認(rèn)知差，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原有認(rèn)識(shí)水平和將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)之間的差異. 哲學(xué)告訴我們：事物的發(fā)展總是矛盾運(yùn)動(dòng)的結(jié)果. 反映在形式上就是：矛盾的出現(xiàn)——矛盾的解決——新矛盾的產(chǎn)生. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也遵循這一認(rèn)識(shí)規(guī)律. 而構(gòu)建合適的認(rèn)知差，可引起學(xué)生極大的好奇心，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的求知欲望. 例如切割線定理的探索過程，筆者巧妙地從學(xué)生已學(xué)過的割線定理這一認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，始終有 PA·PB = PC·PD，當(dāng)直線PAB成為切線時(shí)（A，B重合）這一性質(zhì)仍然成立（如圖）. 學(xué)生很自然地將新建立的切割線定理納入到原有的割線定理這一知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，使之更加趨向完善.
傳統(tǒng)的封閉式的教學(xué)就像把學(xué)生當(dāng)容器，一味地向里面灌知識(shí)，而缺少知識(shí)之間的相互聯(lián)系. 很明顯，松散的點(diǎn)狀知識(shí)體系，不牢固，易遺忘. 而讓學(xué)生全面地了解已學(xué)的數(shù)學(xué)要領(lǐng)和簡(jiǎn)單的運(yùn)算技能，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)后就很牢固，不易遺忘. 其實(shí)，新的認(rèn)知活動(dòng)主要就是 “歸類”的工作，即如何把新的問題歸結(jié)為先前所認(rèn)識(shí)的某一種類型. 這樣，原來的知識(shí)就為后來的知識(shí)提供了盡可能的學(xué)習(xí)基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重研究學(xué)生的新舊知識(shí)結(jié)構(gòu)的差距，有針對(duì)性地選準(zhǔn)新知識(shí)的切入點(diǎn)，這樣有助于學(xué)生較好地完成知識(shí)的歸類，使之形成整體的認(rèn)知框架，這與具體、零散的知識(shí)相比，學(xué)生就獲得了知識(shí)的整體性.
二、消除認(rèn)知差，推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知水平的再提高
合適的認(rèn)知差一旦建立，就提供了學(xué)生解決問題的源動(dòng)力，但是要想使學(xué)生順利到達(dá)彼岸，完成認(rèn)識(shí)水平上的飛躍，這還要求教師幫助學(xué)生消除認(rèn)知差. 為此，就應(yīng)遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原則，也就是人們常說的“讓學(xué)生跳一跳，就能摘到蘋果”. 教師要精心創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，因?yàn)閷W(xué)習(xí)環(huán)境是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的必要條件，它有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新建設(shè)和相互轉(zhuǎn)換. 這時(shí)可采用類比的方法，即利用新舊知識(shí)相互作用的結(jié)果，把新知識(shí)納入原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之內(nèi)，或運(yùn)用推理的方法促使舊知識(shí)向正方向遷移. 具體地說：可從下列兩個(gè)方面著手.
1. 舊知“鋪路”
凡是新舊知識(shí)間的特殊的部分，是產(chǎn)生負(fù)遷移的因素，在理解和掌握新知識(shí)時(shí)，學(xué)生常常表現(xiàn)為不會(huì)運(yùn)用“已知”來解決新問題，這時(shí)，我們要及時(shí)“鋪路搭橋”，把新舊知識(shí)溝通. 如果是解題，則指導(dǎo)他們細(xì)微分析已知條件和新舊知識(shí)間的相互聯(lián)系，以學(xué)生熟悉的舊知識(shí)作為通向新知識(shí)的橋梁，使抽象難懂的新知識(shí)猶如輕車熟路般進(jìn)入學(xué)生的頭腦中. 如初中二次函數(shù)的教學(xué)， 可首先聯(lián)系一元二次方程等已有概念，逐步給出函數(shù)的特征，再通過拋物線與x軸的交點(diǎn)及一元二次方程根的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步完善學(xué)生對(duì)于它們整體一致性的理解.
2. 新知“化歸”
當(dāng)新知識(shí)與學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相一致時(shí)，新知識(shí)就被納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之內(nèi)，從而擴(kuò)大了它的內(nèi)容. 概念教學(xué)中，應(yīng)運(yùn)用化歸的思想，盡可能在原有概念的前提下去揭示新概念的本質(zhì)特征，精心設(shè)計(jì)出聯(lián)系新舊知識(shí)的“橋梁”. 如在研究直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，可用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系去同化. 在新知識(shí)與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不一致時(shí)，就需對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行部分調(diào)整，消除原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的障礙，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)需要. 如引入換元法解分式方程時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生從整體上把握未知數(shù)的特征，以改變單一的去分母解法的習(xí)慣影響，以主動(dòng)適應(yīng)新情況下的特征和變化. 但用換元法解無理方程時(shí)，這又成了新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不同之處，為此，可對(duì)學(xué)生加強(qiáng)基本能力訓(xùn)練，逐步使知識(shí)的應(yīng)用由會(huì)到熟，由熟到活，以防止負(fù)遷移的產(chǎn)生.
現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心是數(shù)學(xué)思維活動(dòng). 重視培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)已逐步成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識(shí)，但有的同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)中的定理、結(jié)論等往往理解僵化，出現(xiàn)思維定式，更有甚者，對(duì)定理的條件模糊不清，亂碰胡套，究其原因，往往是學(xué)生學(xué)過的知識(shí)在頭腦中只是凌亂地貯存，沒有建立起互相的聯(lián)系，也沒有構(gòu)成一定的有序的“塊”，沒有真正理解或重新理解. 其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，包括縱向的、橫向的聯(lián)系，從而組成了知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，也就是人們常說的知識(shí)結(jié)構(gòu)，離開了前后聯(lián)系，知識(shí)也就失去了存在的意義.
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