高精度高斯投影正反算公式及其應(yīng)用

摘要：現(xiàn)代工程測量的發(fā)展具有高精度、大跨度的顯著特點(diǎn)，其平差慣用的數(shù)學(xué)面多為高斯平面，目前高斯投影計(jì)算公式的近似表達(dá)式的精度已不能滿足現(xiàn)代精密工程控制網(wǎng)整體平差的需求。本文通過增加高斯投影正算高階項(xiàng)系數(shù)和改進(jìn)高斯投影反算的迭代方法，提高投影精度，擴(kuò)展了投影帶寬度。
關(guān)鍵詞：高斯投影；大地坐標(biāo)；高斯平面坐標(biāo)；牛頓迭代法
　　一、引言
　　高斯投影是正形投影的一種，具有投影長度比與方向無關(guān)，投影前后角度不變等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種工程項(xiàng)目中。地球橢球面是一個(gè)不可展曲面，而地圖是一個(gè)無裂縫無重疊的平面，高斯投影采用泰勒級數(shù)展開的方法將地球橢球面轉(zhuǎn)換到地圖平面，但由于展開式為無窮級數(shù)，且高次項(xiàng)系數(shù)極為復(fù)雜，所以現(xiàn)在一般選取低次項(xiàng)系數(shù)做近似替換。為了克服投影變形，通常采取分帶投影的方法，我國規(guī)定按經(jīng)差6°和3°進(jìn)行投影分帶[1]。隨著工程項(xiàng)目跨度逐步增大，東西跨度早已超過6°帶的投影范圍，這就意味著需要新的方法來實(shí)現(xiàn)大跨度高精度的高斯投影。
　　本文根據(jù)高斯投影的一般原理，將投影正算公式展開至第9項(xiàng)。同時(shí)，對于高斯投影反算，現(xiàn)在多采用迭代的方法先求得底點(diǎn)緯度Bf，再將Bf代入反算公式求得大地經(jīng)緯度[2]。由于反算公式高階項(xiàng)系數(shù)推導(dǎo)困難，反算精度受限。本文根據(jù)多元非線性函數(shù)的牛頓迭代算法[3]，推導(dǎo)出了由高斯平面坐標(biāo)(x、y)直接迭代求得大地坐標(biāo)(B、L)的迭代公式，有效的避開了反算公式高階項(xiàng)系數(shù)缺失的問題。本文分別以12°、24°為帶寬，計(jì)算分析投影精度。結(jié)果表明，投影精度有較大提高，投影帶寬度得到相應(yīng)的擴(kuò)展。
　　二、高斯投影坐標(biāo)正算
　　高斯投影正算是已知大地坐標(biāo)（B，L），求高斯平面坐標(biāo)（x，y）。高斯投影正算公式為
                  (1)
式中，x、y為高斯平面坐標(biāo)，x0為子午線弧長，l為經(jīng)差， ( )是緯度的函數(shù)。計(jì)算公式為
   (2)
          (3)
    (4)
式中，  為橢球長半徑， 為第一偏心率， 為第二偏心率， 為該投影帶中央子午線經(jīng)度， 為大地緯度， 為投影點(diǎn)到 的大地經(jīng)度差， ，以弧度為單位。 ， ， 。
　　三、高斯投影坐標(biāo)反算的牛頓迭代算法
　　高斯投影坐標(biāo)反算是已知投影帶中央子午線經(jīng)度和高斯平面坐標(biāo)(x，y)，反解大地經(jīng)緯度(B，L)。傳統(tǒng)反算方法為先迭代算出底點(diǎn)緯度Bf，然后代入反算公式，進(jìn)而求得大地坐標(biāo)(B，L)[4-6]。雖然運(yùn)用了迭代的思想，可是仍然受到反算公式高次項(xiàng)缺失的制約，導(dǎo)致反算的精度不理想。本文采用多元非線性牛頓迭代法，無需解算底點(diǎn)緯度Bf，直接由高斯平面坐標(biāo)(x，y)迭代算出大地坐標(biāo)(B，L)。若計(jì)算機(jī)性能許可，可以達(dá)到任意精度。
由(1)式得
             (5)
令
                             (6)
則
                       (7)
得如下迭代格式：
 (8)
當(dāng)同時(shí)滿足
                                (9)
時(shí)終止迭代。其中 根據(jù)具體要求而定。
　　四、精度分析
根據(jù)以上所推公式，用C#語言編寫12°、24°帶高斯投影正反算程序（ 取1×10-16）。在緯度為45°處取點(diǎn)，其大地坐標(biāo)為（B0,L0）。首先將該點(diǎn)歸算到高斯投影平面上，求得它的高斯平面坐標(biāo)，再用迭代反算求得該點(diǎn)的大地坐標(biāo)（B1,L1）。（B0,L0）與（B1,L1）相減，即可得到投影誤差（△B,△L）。其結(jié)果見表1和表2。
表1 采用12°帶高斯投影坐標(biāo)正反算結(jié)果對照表
B（°′″） L（°′″）
 
45 00 00 
11 59 00
 
45 00 
 
11 59 

 
0 00 
 
0 00   
　　由以上結(jié)果可知，當(dāng)帶寬為12°時(shí)，投影帶邊沿投影精度可達(dá)4×10-9s。當(dāng)帶寬擴(kuò)展為24°時(shí)，在投影帶邊沿投影精度達(dá)1×10-6s。
五、結(jié)束語
　　本文將高斯投影正算公式展開至第9項(xiàng)，同時(shí)采用多元非線性函數(shù)的牛頓迭代法進(jìn)行投影反算。通過實(shí)驗(yàn)分析可知，采用該方法進(jìn)行投影計(jì)算，在24°投影帶的邊沿處，正反算經(jīng)緯度差值小于0.000001s，投影精度較高。
　　目前我國正在修建的以高速鐵路為代表的大型工程對測量的精度要求很高，所采用的高斯投影獨(dú)立坐標(biāo)系每個(gè)投影帶可控制范圍很小，給施工測量帶來很多不便。通過本文所述的方法進(jìn)行投影計(jì)算，能在很大程度上拓寬每個(gè)投影帶的投影寬度，對這種大跨度、高精度的工程項(xiàng)目的投影計(jì)算有一定的借鑒意義。
參考文獻(xiàn)：
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