角谷猜想證明探索-數(shù)學(xué)論文

命題:對于非零自然數(shù),是偶數(shù)就除以2,是奇數(shù)就乘3再加上1,然后除以2,反復(fù)進(jìn)行這樣的計算,都能得到1。
證明:
1、一個偶數(shù)除以2(或連續(xù)除以2),總可以得到一個奇數(shù),或許這個奇數(shù)就是1。例如:28÷2=1414÷2=7,38÷2=19,8÷2=44÷2=22÷2=1。事實上2n型偶數(shù)連續(xù)除以2就能得到1,非2n型偶數(shù)連續(xù)除以2,就得到一個不是1的奇數(shù)。
2、一個奇數(shù)我們可以把它分成兩類,第一類可以表示為3m×2n-1(m≥0n≥1)例如3=30×22-15=31×21-1143=32×24-1。第二類不可表示為3m×2n-1,如13,9,41,51等。
無論這個數(shù)是否可以表示為3m×2n-1,如果不可以,則通過一次或若干次命題計算,一定能成為3m×2n-1形式。下面先證明一個奇數(shù)本身或者通過一次或若干次命題計算可以成為3m×2n-1形式。
驗證:21以下各數(shù),1=21×30-1……①
22以下各數(shù)3=22×30-1……①
23以下奇數(shù)5=21×31-1……①;7=23×30-1①
24以下奇數(shù)9→7=23×30-1……②
11=22×31-1……①;13→5=21×31-1……②
15=21×30-1①
25以下各奇數(shù)17=21×32-1……①
19→29→11=31×22-1……②
21→1=21×30-1……②
23=31×23-1……①
25→19→29→11=22×31-1……②
27→41→31=24×30-1……②
29→11=22×30-1……②
31=24×30-1……①
………………
令2n以下各奇數(shù)均可通過命題計算,成為3m×2n-1形式,那么2n+1這個奇數(shù)通過一次命題計算就是(3×2n+4)÷4=3×2n/4+1≤2n-1.(n>2)
因為2n+1通過一次命題計算就小于或等于2n-1,所以2n+1一定可以通過命題計算成為3m×2n-1形式。
3.3m×2n-1這個奇數(shù),通過幾次命題計算成為偶數(shù)3m+n-1。因為(3m+n-1)×3+1=3m+1×2n-2,(3m+1×2n-2)÷2=3m+1×2n-1-1.每次命題計算就要增加一個因數(shù)3,減少一個因數(shù)2,所以進(jìn)行n次計算就成為3m+n-1這個偶數(shù)。
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3m+n-1這個偶數(shù)通過命題計算就一定能得到1。
驗證:令m+n=k,3m+n-1=3k-1.
當(dāng)k=1時,31-1=2;2÷2=1成立
當(dāng)k=2時,32-1=8;8÷8=1成立
當(dāng)k=3時,33-1=26;26÷2=13;13×3+1=40;40÷8=5;5×3+1=16;16÷16=1成立
當(dāng)k=4時,34-1=80;80÷16=5;5×3+1=16;16÷16=1成立
………………
令k=2x-1時,命題成立
32x-1-1用3進(jìn)制表示222……22(2x-1個2)
(32x-1-1)÷2=111……11(2x-1個1)
是個奇數(shù),需要乘3加1,3=103得式A
(32x-1-1)÷2×3+1=111……11(2x個1)式A可以進(jìn)行
當(dāng)k=2x時,32x-1用3進(jìn)制表示為222……22(2x個2)除以2得B
(32x-1)÷2=111……1(2x個1)即:[(32x-1-1)÷2]×3+1=(32x-1)÷2
式B=式A是個相同的偶數(shù),所以32x-1-1和32x-1到此同路徑通過命題計算為1
例如:33-1=26,26÷2=13;13×3+1=40;34-1=80;80÷2=40
35-1=242;242÷2=121;121×3+1=364;36-1=728;728÷2=364
以上兩例說明:33-1與34-1同路徑為1
35-1與36-1同路徑為1
小結(jié):①偶數(shù)除以2成為奇數(shù)。②奇數(shù)可能本身就是3m+n-1形式,或通過命題計算成為3m×2n-1形式。③3m×2n-1這個奇數(shù)通過幾次命題計算成為3m+n-1這個偶數(shù)。④如果32x-1-1能進(jìn)行命題計算成為1,32x-1也一定能通過命題計算成為1,所以命題所說的任何一個數(shù),經(jīng)過命題計算可以成為1。證畢。