收縮原理的證明-教育論文

其實(shí),我們會(huì)已經(jīng)在許多地方用到這個(gè)關(guān)于擴(kuò)張的結(jié)論:周長(zhǎng)一定的封閉曲線中,圓所圍成的面積最大;表面積一定的幾何體中,球體的體積最大(或表述為:面積一定的平面圖形,圓的周長(zhǎng)最短;體積一定的封閉幾何體中,球的表面積最小)。
本文就是給這個(gè)結(jié)論一個(gè)證明。
為了證明這個(gè)結(jié)論,把它分為如下幾個(gè)引理分步來完成。
引理1、周長(zhǎng)為定值的三角形中,正三角形所圍成的面積最大。
證明:因?yàn)槿切稳叾疾还潭?不妨先設(shè)一個(gè)邊長(zhǎng)BC為定值,點(diǎn)A變化。因?yàn)橹荛L(zhǎng)一定,則折線段為定值。由根據(jù)橢圓定義,點(diǎn)A就在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上。如圖,顯然面積最大時(shí),則點(diǎn)A離BC距離最遠(yuǎn),顯然此點(diǎn)是短軸的端點(diǎn),此時(shí)三角形為以BC為底邊的等腰三角形,變換后的三角形面積比初始的三角形所覆蓋的面積大。即相鄰兩邊長(zhǎng)度相等時(shí),凸多邊形所圍成的面積較大。
變換之后的三角形ABC中,再以新的邊長(zhǎng)CA長(zhǎng)度不變,點(diǎn)B變化,同理可知點(diǎn)B在以C、A為焦點(diǎn)的橢圓上,當(dāng)點(diǎn)B為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),三角形的覆蓋面積最大;上述變換之后的三角形ABC中,再以新的邊長(zhǎng)AB長(zhǎng)度不變,點(diǎn)C變化,同理可知點(diǎn)C在以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上,當(dāng)點(diǎn)C為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),三角形的覆蓋面積最大;…。只要有兩邊長(zhǎng)度不相等,我們就重復(fù)這個(gè)變換。最后,只有當(dāng)且僅當(dāng)三角形三邊長(zhǎng)都相等時(shí),所圍成的面積才不再增大,即正三角形的覆蓋面積最大。
這個(gè)變換,我們可以得出,當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)之間的長(zhǎng)度不相等時(shí),那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)不變的前提下它的面積仍然可以變大;三角形三邊的長(zhǎng)度相差越小,此三角形的覆蓋面積就越大;當(dāng)三邊長(zhǎng)度相等時(shí)面積最大。
引理2、周長(zhǎng)為定值的平面多邊形中,邊長(zhǎng)都相等時(shí)的凸多邊形所圍成的面積較大,當(dāng)為正多邊形時(shí)所圍成的面積最大。
顯然,凸多邊形的所圍面積大于凹多邊形面積。
以下我們所說圖形均為凸多邊形。
由引理1我們知道,多邊形的相鄰兩邊長(zhǎng)相等時(shí),所圍面積會(huì)增大。順次改變相鄰的多邊形兩邊,…,當(dāng)我們不斷重復(fù)這個(gè)變換,只有當(dāng)且僅當(dāng)多邊形的邊長(zhǎng)全部相等時(shí),面積不再增大,即周長(zhǎng)為定值的的多邊形中,邊長(zhǎng)相等的多邊形的覆蓋面積較大。
下面證明,當(dāng)這個(gè)邊長(zhǎng)都相等的正多邊形不是正多邊形時(shí),所圍面積還可以增大。
當(dāng)這個(gè)邊長(zhǎng)相等的多邊形不是正多邊形時(shí),如圖不妨取相鄰的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D,連結(jié)AD、BD,延長(zhǎng)BC,在其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)設(shè)為C',為計(jì)算方便起見,設(shè),,多邊形的邊長(zhǎng),對(duì)角線。
在中由余弦定理可得
即
“=”成立,當(dāng)且僅當(dāng),即,也就是A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)面積較大,這時(shí),我們易證,,而同弧AD得,弦長(zhǎng)得)。
依據(jù)這個(gè)變換,從而我們可知,這個(gè)邊長(zhǎng)相等的多邊形的面積只要相鄰兩個(gè)內(nèi)角不等,那么它的覆蓋面積就可以增加;只有任意相鄰的內(nèi)角相等時(shí),這個(gè)邊長(zhǎng)相等多邊形的面積才不會(huì)再增加。
這個(gè)邊長(zhǎng)相等的多邊形邊長(zhǎng)相等,內(nèi)角也相等,顯然就是圓的內(nèi)接正多邊形。
引理3、周長(zhǎng)為定值的平面正多邊形中,邊數(shù)越多,所圍成的面積越大。
證明:在原正n邊形中,不妨取邊BC的中點(diǎn)B,由引理1知,在長(zhǎng)度和不變的情況下,當(dāng)時(shí),新的三角形的面積大于原三角形的所圍面積,顯然此時(shí)多邊形的邊的個(gè)數(shù)已經(jīng)比原多邊形多了一條邊,由引理2知正多邊形的所圍面積最大,故可得周長(zhǎng)為定值的正n+1邊形比正n邊形所圍成的面積大。依此步驟,引理3顯然得證。
周長(zhǎng)一定的封閉曲線,我們可以經(jīng)過細(xì)化分割成,近似成為一個(gè)n邊形,由引理2知,正n邊形,所圍成的面積最大;由引理3知,正多邊形的邊數(shù)越多,所圍成的面積越大,當(dāng)邊數(shù)趨向于無窮大時(shí),可知此時(shí)的封閉曲線為圓。于是我們得:
定理1:周長(zhǎng)一定的平面封閉曲線中,圓所圍成的面積最大。
定理2:表面積一定的幾何體中,球體的體積最大。
利用這個(gè)結(jié)論,我們便可以解釋,當(dāng)液體滴下時(shí),在空間的形狀為球,那是因?yàn)橐后w表面張力的緣故,相同的體積,球的表面積最小。
細(xì)數(shù),結(jié)論的證明過程,并無太多的技巧,用到的幾乎都是分步、遞推、分割、極限等,這些我們常見的數(shù)學(xué)基本的思想方法。
數(shù)學(xué),重要的就是它的思想,只要有了解決問題的思想,約定了它的解決程序,解答過程其實(shí)很簡(jiǎn)單。