運(yùn)用支架理論實(shí)現(xiàn)初中幾何證明簡(jiǎn)潔化-數(shù)學(xué)論文

這是一道典型的利用中點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于中點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)三角形的題目。本題雖然只有簡(jiǎn)單的兩個(gè)條件,分散在兩個(gè)三角形中,但這兩個(gè)三角形很明顯不能證全等,同學(xué)們知道要作輔助線(xiàn),但以前接觸過(guò)的添輔助線(xiàn)的方法只有聯(lián)結(jié)、延長(zhǎng)以及作垂線(xiàn),所以本題中輔助線(xiàn)的添加,在學(xué)生思維區(qū)里有個(gè)不小的跳躍,學(xué)生自行探索起來(lái)非常困難。通常情況下絕大部分學(xué)生都是望而生畏。
設(shè)置支架一:動(dòng)畫(huà)演示
我用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示,把△ABD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到△A′B′D,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn):
①點(diǎn)B′“恰好”與點(diǎn)C相重合,旋轉(zhuǎn)后的△A′CD與△ECD能拼成一個(gè)三角形;
②△EA′C是等腰三角形,即A′C=EC;
③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義可知AB=A′C,通過(guò)等量代換可以得到AB=EC。
也就是說(shuō),如果△A′CD與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對(duì)稱(chēng),那么接下去的問(wèn)題都容易解決。
設(shè)置支架二:構(gòu)造全等三角形
如何構(gòu)造一個(gè)三角形與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對(duì)稱(chēng)呢?這個(gè)問(wèn)題比較抽象,我把它分成了幾個(gè)小問(wèn)題。
問(wèn)題1:點(diǎn)B′為什么恰好與點(diǎn)C重合?(這個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)既可以解釋B′為什么恰好與點(diǎn)C重合,又可以讓學(xué)生審清題目的條件D為BC的中點(diǎn))
問(wèn)題2:△ABD與△A′CD全等嗎?
問(wèn)題3:不考慮旋轉(zhuǎn),要使△A′CD≌△ABD,條件夠嗎?若夠,請(qǐng)證明它們?nèi)?若不夠,你需要添加什么條件?
第三個(gè)問(wèn)題的提出,學(xué)生的信心回來(lái)了!因?yàn)槿葘W(xué)生們一直在運(yùn)用。歸納起來(lái),學(xué)生有三種添加的方法:①加AD=A′D②加∠1=∠A′③加∠B=∠A′CD。
下面需要的是如何引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的幾何語(yǔ)言恰當(dāng)?shù)乇硎?
①加AD=A′D,用規(guī)范的幾何語(yǔ)言可描述為延長(zhǎng)AD到點(diǎn)A′,使AD=A′D。AD可以看作是△ABC的中線(xiàn),延長(zhǎng)AD,使AD=A′D,可以歸納為“中線(xiàn)加倍”。
②∠1=∠A′或者∠B=∠A′CD,都可以由A′C∥AB得到,所以這種作輔助線(xiàn)的方法可以用幾何語(yǔ)言描述為:過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn),交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于A(yíng)′。
本題的證明方法I:延長(zhǎng)AD點(diǎn)A′,使AD=A′D,聯(lián)結(jié)A′C。
∵D為BC的中點(diǎn)(已知)∴BD=CD(中點(diǎn)的意義)
∵BD=CD(已證)∠ADB=∠A′DC(對(duì)頂角相等)AD=A′D(作圖)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C,∠1=∠A′(全等三角形的性質(zhì))
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代換)
∴EC=A′C(等角對(duì)等邊)∴AB=EC(等量代換)
本題的證明方法II:過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn),交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于A(yíng)′,聯(lián)結(jié)A′C。
∵AB∥A′C(作圖)∴∠1=∠A′(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代換)
∴EC=A′C(等角對(duì)等邊)∵D為BC的中點(diǎn)(已知)
∴BD=CD(中點(diǎn)的意義)∵∠1=∠A′(已證)∠ADB=∠A′DC(對(duì)頂角相等)BD=CD(已證)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C(全等三角形的性質(zhì))
∴AB=EC(等量代換)
二、舉類(lèi)似例題,便于歸納,形成模型
例2如圖,AD為△ABC的中線(xiàn),BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且AE=EF。求證:AC=BF
輔助線(xiàn)添加方法I:延長(zhǎng)AD點(diǎn)M,使AD=MD,聯(lián)結(jié)BC。
輔助線(xiàn)添加方法II:過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn),交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,聯(lián)結(jié)BM。
通過(guò)上述兩個(gè)例題的學(xué)習(xí),以及老師的引導(dǎo),學(xué)生可初步發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些規(guī)律。
在上述例題中有一個(gè)非常特殊的點(diǎn)——中點(diǎn),我們是如何利用這個(gè)特殊點(diǎn)的?
引導(dǎo)學(xué)生歸納,如果有中點(diǎn),我們可以嘗試通過(guò)中線(xiàn)加倍或者添平行線(xiàn)構(gòu)造一個(gè)三角形關(guān)于中點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)。
提出問(wèn)題:在例1中我們首先是構(gòu)造△A′CD與△ABD關(guān)于點(diǎn)D中心對(duì)稱(chēng),你能否構(gòu)造△E′BD與△ECD關(guān)于點(diǎn)D中心對(duì)稱(chēng)?例2還可以如何作輔助線(xiàn)呢?
如果學(xué)生已經(jīng)領(lǐng)會(huì)了解決此類(lèi)問(wèn)題的思路,那么一定會(huì)衍生出不同的作法。教是為了不教,教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納,讓學(xué)生不自覺(jué)地觸類(lèi)旁通,形成知識(shí)的建構(gòu)。
四、實(shí)踐反思
數(shù)學(xué)教學(xué)要注重過(guò)程和方法,提倡在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的自主活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求模式的能力。但是自主活動(dòng)并不排斥師生之間的合作互動(dòng),有時(shí)候?qū)W生的自主探索,需要教師的激發(fā)以及及時(shí)適度的點(diǎn)撥?！爱?dāng)跳一跳蘋(píng)果夠得到時(shí),孩子才有跳起來(lái)的欲望?！彼越處煈?yīng)在學(xué)生需要幫助時(shí)提供合適的學(xué)習(xí)“支架”,讓學(xué)生有信心、有能力去探索。只有當(dāng)學(xué)生的自主性得以充分發(fā)揮,才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。但是學(xué)習(xí)“支架”的提供要恰到好處,而且在知識(shí)的形成過(guò)程中要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況逐漸拆去“支架”,并隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高而逐漸減少“支架”。
通過(guò)本案例的教學(xué),學(xué)生不僅領(lǐng)會(huì)了作輔助線(xiàn)的思想,而且在突破障礙、得到結(jié)論的過(guò)程中,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力獲得提高,鉆研精神有了長(zhǎng)足的進(jìn)步。