針對(duì)工科生講授量子力學(xué)基本原理時(shí)可采用的一種類比方法

一、導(dǎo)言

    量子力學(xué)是物理學(xué)的一門分支學(xué)科，它也是現(xiàn)代諸多科學(xué)技術(shù)（如激光技術(shù)、微電子技術(shù)、新材料技術(shù)、新能源技術(shù)等）的理論基礎(chǔ)，它為諸多現(xiàn)代工程技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正因?yàn)榱孔恿W(xué)的基礎(chǔ)性意義，許多工科專業(yè)的大學(xué)生需要學(xué)習(xí)了解一定的量子力學(xué)基本原理。由于學(xué)時(shí)的限制，很多工科專業(yè)不可能開設(shè)專門的量子力學(xué)課程，同時(shí)相關(guān)工科專業(yè)的學(xué)生也只需要對(duì)量子力學(xué)的基本原理有一定基礎(chǔ)性了解即可，不需要具備完整的量子力學(xué)知識(shí)體系，所以在很多工科專業(yè)中，量子力學(xué)基本知識(shí)的介紹是在一些專業(yè)課程中適當(dāng)摻入，或者是在大學(xué)物理課程的最后部分涉及。量子力學(xué)畢竟是一門理論深度很強(qiáng)的學(xué)科，很多概念和原理非常的抽象、新穎，與經(jīng)典物理的知識(shí)相比具有很大的差異，學(xué)生（尤其是非物理學(xué)專業(yè)的工科學(xué)生）學(xué)習(xí)起來具有很大的難度。我們?cè)趯?duì)工科學(xué)生講授量子力學(xué)知識(shí)的過程中積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了一些較為有利于學(xué)生學(xué)習(xí)理解的講授方法，本篇論文即對(duì)這些方法進(jìn)行敘述。

二、量子力學(xué)公設(shè)

整個(gè)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)理論建立在五個(gè)公設(shè)之上。這五個(gè)公設(shè)是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析提煉而得到的，不能被嚴(yán)格推導(dǎo)出來的，但是與所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，被認(rèn)為是正確可信的。這五個(gè)公設(shè)分別是：

1. 態(tài)矢量公設(shè)（或波函數(shù)公設(shè)）。

2. 可觀測(cè)量與算符公設(shè)。

3. 測(cè)量公設(shè)。

4. 動(dòng)力學(xué)演化公設(shè)（或薛定諤方程公設(shè)）。

5. 全同性原理公設(shè)。

這個(gè)五個(gè)公設(shè)里涉及的概念，如態(tài)矢量、算符、本征值等等，都非常的抽象。學(xué)生在接觸這些概念時(shí)很難理解它們，因而更難進(jìn)一步理解這些公設(shè)。我們?cè)啻蜗蚬た茖W(xué)生講解過量子力學(xué)的基本原理，為了讓學(xué)生較快地理解這些公設(shè)，我們通過一些類比的方法，把量子力學(xué)公設(shè)的含義與一些他們已經(jīng)具備的、較為直觀的知識(shí)聯(lián)系起來，從而讓他們可以較快較好地理解量子力學(xué)的公設(shè)。具體來說，我們把平面幾何中的向量及有關(guān)性質(zhì)、線性代數(shù)中的矩陣及有關(guān)性質(zhì)，拿過來與公設(shè)中的相關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行類比，從而讓學(xué)生很好地理解公設(shè)。下面我們就此方法重點(diǎn)對(duì)前三條公設(shè)進(jìn)行詳細(xì)闡述。

（一）態(tài)矢量公設(shè)（或波函數(shù)公設(shè)）

這條公設(shè)的內(nèi)容是：“一個(gè)量子系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)（量子態(tài)）可以由希爾伯特空間中的態(tài)矢量來設(shè)定。這個(gè)態(tài)矢量完備地給出了這個(gè)量子系統(tǒng)的所有信息?！?/p>

態(tài)矢量是一個(gè)什么東西？希爾伯特空間是一個(gè)什么東西？學(xué)生在一開始肯定不理解。但我們可以向?qū)W生這樣講解：態(tài)矢量類似于二維幾何平面中的一個(gè)矢（向）量（也可以說類似于一個(gè)三維立體中的一個(gè)矢量，或者是n維線性空間中的一個(gè)矢量，為了方便我們以二維幾何平面中的矢量為例。），希爾伯特空間就類似于這個(gè)二維幾何平面。它們之間有不同的地方，但也有相同的地方。我們可以對(duì)幾何矢量和態(tài)矢量所共有的可分解性進(jìn)行闡述。

在圖1（a）中，是二維幾何平面中的任意一個(gè)矢量，對(duì)這個(gè)矢量可以進(jìn)行正交分解，比如把A矢量在相互正交的X方向和Y方向進(jìn)行正交分解，數(shù)學(xué)上可以表示為：

，  （1）

和是X、Y方向上的單位矢量，、是A矢量向x、y兩個(gè)方向分別投影所得的倍數(shù)。簡(jiǎn)而言之，任意幾何矢量都可以分解為一些基本矢量的疊加。這些知識(shí)是學(xué)生們已經(jīng)具備的非常簡(jiǎn)單的知識(shí)。量子力學(xué)中態(tài)矢量也具有相似的可分解性（或者說是疊加性），在數(shù)學(xué)上可以表示為：

   ， （2）

是某一個(gè)態(tài)矢量與圖1中的矢量類似。就是一組相互正交的單位矢量集，類似于i和j，只是的個(gè)數(shù)可能會(huì)是無窮多個(gè)。就相當(dāng)于、，它是向單位矢量投影所得的倍數(shù)。是二維平面空間中的一個(gè)矢量，也是一個(gè)空間中的矢量，這個(gè)空間就是具有無限維數(shù)的希爾伯特空間。

通過這樣比較形象的類比描述，雖然不能讓學(xué)生完全地了解態(tài)矢量和希爾伯特空間，但是肯等可以讓他們對(duì)兩者有了一點(diǎn)初步的印象，不至于一點(diǎn)不懂，這樣就可以為后續(xù)的繼續(xù)學(xué)習(xí)了解打下基礎(chǔ)。當(dāng)然后面也需要繼續(xù)采用這種類比講解的方法。

圖（1）幾何矢量的正交分解

態(tài)矢量的分解不唯一，和所選擇的表象有關(guān)系。這樣的性質(zhì)也可以用幾何矢量的性質(zhì)進(jìn)行類比說明。比如圖1(b)中的矢量也可以對(duì)其進(jìn)行另外一種形式的正交分解，如圖2所示。數(shù)學(xué)上可以表示為：

（3）

這里、是另外一組正交的兩個(gè)方向的單位矢量。、是對(duì)應(yīng)的系數(shù)。所以同一個(gè)矢量可以具有不同的分解形式。我們還可以找到不同于圖1和圖2的另外的分解形式。量子力學(xué)中態(tài)矢量分解形式的不唯一性，在數(shù)學(xué)上可以表示為：

（4）

就是另一組單位矢量集，類似于、。就相當(dāng)于、 。

公式（2）和（4）所描述的態(tài)矢量的分解，都屬于離散分解。可以再進(jìn)一步向?qū)W生講述，態(tài)矢量的分解也可能為連續(xù)分解。數(shù)學(xué)上可以寫為：

 （5）

這時(shí)的系數(shù)和變成了隨x和k而變化的連續(xù)函數(shù)。可以根據(jù)情況向?qū)W生講述，上面的兩種連續(xù)分解可以理解為分屬于態(tài)矢量在坐標(biāo)表象的分解和在動(dòng)量表象的分解。兩次分解所得到的系數(shù)函數(shù)就分別是坐標(biāo)表象的波函數(shù)和動(dòng)量表象的波函數(shù)。

（二）可觀測(cè)量與算符公設(shè)

該公設(shè)的內(nèi)容是：“可觀測(cè)量是可以被觀測(cè)的物理量。每個(gè)可觀測(cè)量X都有其對(duì)應(yīng)的厄米算符，而算符的所有本征矢量共同組成一個(gè)完備基底。”

這條公設(shè)里所說的可觀測(cè)量X可以是位置、動(dòng)量等。公設(shè)里所說的厄米算符、算符的本征矢量、完備基底這三個(gè)概念及它們之間的關(guān)系，可以利用線性代數(shù)中矩陣的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比講解。

例如一個(gè)矩陣，它有兩個(gè)正交歸一的特征向量和，特征值分別為2和4，即

（6）

兩個(gè)特征向量和是正交的，即=0. 

此時(shí)任意一個(gè)二維向量都可以用和展開，例如：

（7）

在量子力學(xué)里的可觀測(cè)量X所對(duì)應(yīng)的厄米算符與其本征矢量之間的關(guān)系可以表示為：

（8）

表示算符的本征矢量，是相應(yīng)的本征值。所以本征矢量是比較特殊的一類態(tài)矢量，算符作用于本征矢量時(shí)，所得的結(jié)果就是本征值與本征矢量的乘積。

可以將式（6）與（8）對(duì)比理解。算符與矩陣A對(duì)應(yīng)，本征矢量與特征向量和相對(duì)應(yīng)。本征值與特征值2和4相對(duì)應(yīng)。本征矢量之間是相互正交的，即，與特征向量之間的關(guān)系相似。

所有本征矢量組成一個(gè)完備基底，意味著任意一個(gè)態(tài)矢量都可以展開為本征矢量的疊加。即

     （9）

是任意一個(gè)態(tài)矢量，與式（7）中的向量、相類似。態(tài)矢量以公式（9）的形式展開與公式（2）的展開完全一致。公式（2）的出現(xiàn)在本質(zhì)上就是由這里的公設(shè)所決定的，只是為了在一開始便于對(duì)公設(shè)一進(jìn)行解釋，而事先引用了。此時(shí)可以把前后聯(lián)系起來向?qū)W生講解一下。在解釋公設(shè)一還提到的態(tài)矢量分解形式不唯一，此時(shí)就可以把這種分解形式的不唯一，理解為可以換用另外一個(gè)可觀測(cè)量所對(duì)應(yīng)的算符的本征矢量對(duì)態(tài)矢量進(jìn)行分解。

從公式（7）和（9）中也可以看出，特征向量屬于向量，只不過是特殊一類的向量；本征矢量也屬于態(tài)矢量，是特殊一類的態(tài)矢量。

（三） 測(cè)量公設(shè)

這個(gè)公設(shè)的內(nèi)容是：“對(duì)一個(gè)物理系統(tǒng)就某個(gè)可觀測(cè)量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量的結(jié)果就是相應(yīng)的可觀測(cè)量所對(duì)應(yīng)的算符的本征值之一，測(cè)量后系統(tǒng)的態(tài)矢量就是那個(gè)本征值所對(duì)應(yīng)的本征矢量?！?nbsp;

針對(duì)于這個(gè)公設(shè)，我們可以做這樣的形象理解。假設(shè)原先系統(tǒng)的態(tài)矢量為，我們準(zhǔn)備對(duì)系統(tǒng)就某一個(gè)可觀測(cè)量X進(jìn)行測(cè)量，這個(gè)可觀測(cè)量所對(duì)應(yīng)的厄米算符為，測(cè)量過程就可以理解為算符作用于態(tài)矢量，系統(tǒng)的態(tài)矢量可能就是的某一個(gè)本征矢量，那么測(cè)量過程就如公式（8）所示，測(cè)量所得的結(jié)果就是相應(yīng)的本征值，測(cè)量后系統(tǒng)的態(tài)矢量還是這個(gè)本征矢量。但是測(cè)量前系統(tǒng)的態(tài)矢量可能是由若干個(gè)本征矢量疊加而成的疊加態(tài)，即，那么測(cè)量后，系統(tǒng)的狀態(tài)就不在是這個(gè)疊加態(tài)，而是概率性地塌縮為某個(gè)本征矢量，這個(gè)概率的大小就是，測(cè)量所得的結(jié)果就是這某個(gè)本征矢量所對(duì)應(yīng)的本征值，之后系統(tǒng)的態(tài)矢量就變?yōu)榱?，不再處于原先的疊加態(tài)。

對(duì)量子系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，如果系統(tǒng)處于疊加態(tài)時(shí)，測(cè)量結(jié)果具有概率性、隨機(jī)性，測(cè)量前不可能準(zhǔn)確預(yù)言出測(cè)量結(jié)果。這與經(jīng)典決定論是矛盾的，學(xué)生在理解這個(gè)問題時(shí)會(huì)有很大的困惑。不過這個(gè)作為公設(shè)只需強(qiáng)調(diào)其內(nèi)容的客觀性，讓學(xué)生們先直接接受這些內(nèi)容，然后再引入測(cè)量的期望值概念。量子態(tài)處于疊加態(tài)時(shí)，測(cè)量前不能確定性知道測(cè)量結(jié)果，只能知道會(huì)出現(xiàn)某一個(gè)本征值結(jié)果的概率。為了對(duì)測(cè)量結(jié)果給出一定的描述，可以把每一種可能的測(cè)量結(jié)果值按概率進(jìn)行加權(quán)求和，這樣就得到了可觀測(cè)量的期望值。這個(gè)期望值的大小應(yīng)為。期望值的數(shù)學(xué)符號(hào)為。這一數(shù)學(xué)符號(hào)的含義是：

三、結(jié)束語(yǔ)

    通過類比講解的方法，我們可以使學(xué)生比較清楚地理解掌握量子力學(xué)公設(shè)一、公設(shè)二以及公設(shè)三的含義。相比較而言，公設(shè)四和公設(shè)五不太容易通過類比講解的方法向?qū)W生講授。但學(xué)生在理解掌握了前三個(gè)公設(shè)后，學(xué)習(xí)公設(shè)四和公設(shè)五也相對(duì)變得容易。所以類比講解的方法可以對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)理解量子力學(xué)基本原理起到很好的促進(jìn)作用，這種類比方法值得授課老師采用。

參考文獻(xiàn)：

[1]周世勛,陳灝.量子力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

[3]程守洙,江之永.普通物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]葉偉國(guó).大學(xué)物理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012.