局部時(shí)差約束鄰域保持嵌入算法在故障檢測中的應(yīng)用

作者：王琨侍洪波譚帥宋冰陶陽來源：《化工學(xué)報(bào)》日期：2022-11-02人氣：972

在現(xiàn)代工業(yè)過程中，系統(tǒng)規(guī)模越來越大，流程也越來越復(fù)雜[1-2]，一旦故障發(fā)生，不僅會(huì)影響生產(chǎn)效率，甚至?xí)斐芍卮蟮陌踩鹿?。同時(shí)，隨著傳感器技術(shù)、實(shí)時(shí)存儲(chǔ)技術(shù)和信息管理系統(tǒng)的發(fā)展[3]，大量在線和離線數(shù)據(jù)更易被獲取和存儲(chǔ)[4-5]。因此，為了保證工業(yè)過程的生產(chǎn)安全，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的過程監(jiān)測和控制技術(shù)越來越受關(guān)注[6]，多元統(tǒng)計(jì)過程監(jiān)控(multivariate statistical process monitoring，MSPM)方法作為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)過程監(jiān)控方法的典型代表，得到了廣泛的研究[7]。目前常用的MSPM方法有主成分分析(principal component analysis，PCA)、偏最小二乘(partial least squares，PLS)、獨(dú)立主元分析(independent component analysis，ICA)等，這些方法對過程數(shù)據(jù)進(jìn)行降維[8-11]并基于提取的特征信息建立模型。然而，這些方法僅考慮樣本間的全局特性，并沒有關(guān)注局部包含的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這將忽略隱藏在高維空間中的更多信息。

近年來，基于流形學(xué)習(xí)的方法得到快速發(fā)展[12]，拉普拉斯特征映射(Laplacian eigenmaps，LE)[13]、局部線性嵌入(locally linear embedding，LLE)[14]和等距映射(isometric feature mapping，ISOMAP)[15]等非線性流形學(xué)習(xí)算法被提出，這些方法可以從高維采樣數(shù)據(jù)中揭示低維流形結(jié)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)維數(shù)的約簡，但運(yùn)算成本高且得到的投影僅在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上定義。He等[16]提出局部保持投影(locality preserving projections, LPP)，它作為一種線性流形學(xué)習(xí)算法，對LE算法進(jìn)行線性近似，不僅保留了諸如LE、LLE非線性算法的數(shù)據(jù)屬性，還可以被定義在環(huán)繞空間的任何地方，而不僅限于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中。He等[17]進(jìn)一步提出鄰域保持嵌入(neighborhood preserving embedding, NPE)，也是通過鄰域近似線性表示得到投影矩陣，但目標(biāo)函數(shù)表示為最小化重構(gòu)誤差，目前也成功應(yīng)用于故障檢測領(lǐng)域[18-21]。但無論是關(guān)注全局結(jié)構(gòu)信息的典型多元統(tǒng)計(jì)方法還是關(guān)注局部結(jié)構(gòu)信息的流形學(xué)習(xí)方法，它們都基于數(shù)據(jù)樣本獨(dú)立分布的假設(shè)建立靜態(tài)模型，忽略了樣本在連續(xù)時(shí)間采集過程中的相關(guān)性[22]。

在實(shí)際工業(yè)中，變量可能受到噪聲等干擾使其在穩(wěn)態(tài)值附近波動(dòng)，該過程便具有動(dòng)態(tài)行為特征。Ku等[23]提出動(dòng)態(tài)主成分分析算法(dynamic PCA, DPCA)，通過加入時(shí)間延遲因子的方法來表示模型中的動(dòng)態(tài)行為，利用時(shí)間窗將連續(xù)時(shí)間的樣本依次排列，形成增廣矩陣作為模型訓(xùn)練的輸入。Li等[24]提出動(dòng)態(tài)鄰域保持嵌入(dynamic neighborhood preserving embedding，DNPE)算法將原始數(shù)據(jù)矩陣轉(zhuǎn)換為增廣數(shù)據(jù)，既保留了NPE算法的優(yōu)勢又克服了無法考慮時(shí)序相關(guān)性的問題，然后利用LSSVM方法實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)的多類評價(jià)。趙小強(qiáng)等[25]提出GSFA-GNPE算法，通過計(jì)算順序相關(guān)矩陣，對過程變量的特性進(jìn)行評估，劃分為動(dòng)態(tài)子空間和過程子空間，根據(jù)得到的混合模型指標(biāo)實(shí)現(xiàn)過程監(jiān)控。但是，這些算法廣泛關(guān)注的是樣本的全局時(shí)間特性，并沒有充分挖掘局部時(shí)間特性。

針對全局結(jié)構(gòu)信息無法準(zhǔn)確反映樣本間關(guān)系和時(shí)序相關(guān)性未被考慮兩個(gè)問題，本文在傳統(tǒng)NPE算法基礎(chǔ)上提出一種新的數(shù)據(jù)降維和特征提取方法——LTDCNPE算法，它使用一種全新的方式選擇近鄰樣本來對原始樣本進(jìn)行重構(gòu)。不同于大部分算法單純使用歐氏距離的大小來選擇鄰域，很多距離小的樣本可能時(shí)間尺度上相隔較遠(yuǎn)，導(dǎo)致鄰域中選擇了時(shí)間上關(guān)系很小但距離相隔很近的樣本，這在一定程度上會(huì)影響特征的提取。LTDCNPE算法同時(shí)兼顧時(shí)序相關(guān)性和局部空間結(jié)構(gòu)信息，任意選取一個(gè)樣本作為中心點(diǎn)，根據(jù)樣本時(shí)間上的相關(guān)性大小選定一個(gè)長度固定的時(shí)間窗，再利用中心點(diǎn)與時(shí)間窗內(nèi)其他每個(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間關(guān)系和二者之間的距離，來構(gòu)造更加合理的鄰域選擇標(biāo)準(zhǔn)，并將時(shí)間關(guān)系作為近鄰樣本的權(quán)值，來提高系統(tǒng)的故障檢測精度。本文將LTDCNPE算法用于工業(yè)過程的故障檢測，分別在特征空間中構(gòu)造 $T^{2}$ 統(tǒng)計(jì)量和在殘差空間中構(gòu)造SPE統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢測。最后利用數(shù)值例子和TE仿真過程對該方法的有效性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 NPE算法介紹

NPE算法通過求解特征映射 $A = [a_{1}, a_{2}, ?, a_{d}] \in$ $R^{D \times d}$ 將原始的輸入矩陣 $X = [x_{1}, x_{2}, ?, x_{N}] \in R^{D \times N}$ 從高維空間映射到低維特征空間 $Y = [y_{1}, y_{2}, ?, y_{N}] \in$ $R^{d \times N} (d < D)$ 。其中， $N$ 為樣本數(shù)， $D$ 為變量數(shù)， $d$ 為降維后保留的維數(shù)。算法具體流程如下。

首先，利用k-NN方法為原始訓(xùn)練數(shù)據(jù) $X$ 的每個(gè)樣本點(diǎn) $x_{i}$ 尋找與其歐氏距離最近的 $k$ 個(gè)近鄰點(diǎn) $\{x_{j} |j = 1,2, ?, k\}$ 構(gòu)造鄰域連接圖，并對 $x_{i}$ 進(jìn)行重構(gòu)。通過最小化重構(gòu)誤差 $E$ 來求解最優(yōu)權(quán)值系數(shù)矩陣 $W$ ，計(jì)算公式如式(1)所示。

$\begin{array}{l} E (W) = m i n {\sum_{i = 1}^{N} ‖x_{i} - \sum_{j = 1}^{k} W_{i j} x_{j}‖}^{2} \\ s . t . \sum_{j = 1}^{k} W_{i j} = 1 \end{array}$ (1)

式中， $W_{i j}$ 表示對不同結(jié)點(diǎn)的權(quán)值，即 $x_{j}$ 對 $x_{i}$ 重構(gòu)的貢獻(xiàn)。

然后，通過特征映射矩陣 $A$ 將 $X$ 投影到低維空間中，得到 $Y$ 。

$Y = A^{T} X$ (2)

根據(jù)低維空間可以利用與在原始高維空間中相同的權(quán)值進(jìn)行重構(gòu)這一特點(diǎn)，利用式(1)得到的權(quán)值系數(shù)矩陣來重構(gòu)對應(yīng)的低維數(shù)據(jù)樣本 $y_{i}$ ，相應(yīng)的特征映射矩陣 $A$ 可以通過最小化以下?lián)p失函數(shù)求解得到。

$E (A) = m i n {\sum_{i = 1}^{N} ‖y_{i} - \sum_{j = 1}^{k} W_{i j} y_{j}‖}^{2} = m i n t r (A^{T} X M X^{T} A)$ (3)

式中， $y_{j}$ 是樣本 $y_{i}$ 的第 $j$ 個(gè)近鄰點(diǎn)； $M = {(I - W)}^{T} (I - W)$ ， $I$ 為單位矩陣。

最后，利用拉格朗日乘子法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將式(3)變換為如下廣義特征值求解形式。

$X M X^{T} A = λ X X^{T} A$ (4)

獲得的前 $m$ 個(gè)最小特征值所對應(yīng)的特征向量即可組成特征映射矩陣 $A$ 。

2 基于LTDCNPE的故障檢測

NPE算法根據(jù)樣本之間的歐氏距離選擇鄰域來對中心樣本進(jìn)行重構(gòu)，但是在化工過程中，一段時(shí)間內(nèi)的連續(xù)樣本之間具有時(shí)序相關(guān)性[26]。傳統(tǒng)的NPE方法僅考慮樣本間的空間關(guān)系，忽略了樣本間的時(shí)序關(guān)系，使得檢測效果變差。因此，本文將提出的LTDCNPE算法用于化工過程故障檢測，希望在一個(gè)時(shí)間窗內(nèi)通過同時(shí)考慮時(shí)間和空間上的局部性來進(jìn)行鄰域挑選，并利用時(shí)差為近鄰樣本賦權(quán)，進(jìn)而提取更為合理的特征。

2.1 LTDCNPE算法

2.1.1 挑選鄰域

在選擇鄰域前，LTDCNPE算法先對選擇的范圍進(jìn)行了預(yù)縮減，根據(jù)連續(xù)過程樣本間的時(shí)序相關(guān)性尋找一個(gè)長度為 $L$ 的時(shí)間窗，保證范圍內(nèi)的樣本包含大部分主要信息。具體地，以給定數(shù)據(jù)集 $X = [x_{1}, x_{2}, ?, x_{N}] \in R^{D \times N}$ 的任一樣本 $x_{i}$ 為中心劃取時(shí)間窗，得到時(shí)間維度上的縮減鄰域。時(shí)間窗大小可以通過過程變量平方和的自相關(guān)來確定[27]，這樣當(dāng)時(shí)間距離大于確定的時(shí)間窗長度時(shí)，相關(guān)性可以被忽略。

但通過時(shí)間窗得到的縮減鄰域所包含的樣本并非全部適合重構(gòu) $x_{i}$ ，需要在此基礎(chǔ)上利用式(5)反映鄰域樣本與 $x_{i}$ 在局部時(shí)間和空間上的差異，選取與 $x_{i}$ 更相關(guān)的 $k$ 個(gè)近鄰點(diǎn)。第 $j$ 個(gè)鄰域樣本 $x_{j}$ 與 $x_{i}$ 的差異 $B_{i, j}$ 計(jì)算方式如式(5)所示。

$B_{i, j} = T_{i, j} D_{i, j}$ (5)

式中， $D_{i, j}$ 為空間約束，具體表示為樣本點(diǎn) $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 的歐氏距離，反映空間上的遠(yuǎn)近； $T_{i, j}$ 為時(shí)間約束，反映局部時(shí)間差異。

LTDCNPE算法和NPE算法對空間結(jié)構(gòu)上的特征提取均是利用式(6)來實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)僅考慮局部空間差異時(shí)，鄰域樣本選擇的示意圖如圖1所示。

$D_{i, j} = {‖x_{i} - x_{j}‖}^{2}$ (6)

圖1

圖1 僅考慮空間距離的樣本分布

中心樣本；時(shí)差小的近鄰樣本；時(shí)差大的近鄰樣本

Fig.1 Sample distribution considering only spatial distance

LTDCNPE算法中的局部時(shí)差由式(7)體現(xiàn)。

$T_{i, j} = e x p (- \frac{t_{1}}{t_{2} t_{3}}) = e x p (- \frac{{|t (x_{i}) - t (x_{j})|}^{2}}{\sum_{q = 1}^{l} |t (x_{i}) - t (x_{i}^{q})| \sum_{q = 1}^{l} |t (x_{j}) - t (x_{j}^{q})|})$ (7)

式中， $t (x_{i})$ 為任意從 $X$ 中選擇的樣本所對應(yīng)的采樣時(shí)間； $t (x_{j})$ 為樣本 $x_{i}$ 的第 $j (j = 1,2, ?, L)$ 個(gè)近鄰點(diǎn)所對應(yīng)的采樣時(shí)間； $t (x_{j}^{q})$ 為 $x_{j}$ 的第 $q (q = 1,2, ?, l)$ 個(gè)近鄰樣本對應(yīng)的采樣時(shí)間； $t (x_{i}^{q})$ 為 $x_{i}$ 的第 $q$ 個(gè)近鄰點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間，值得注意的是，該值雖然與 $t (x_{j})$ 均表述的是 $x_{i}$ 的近鄰點(diǎn)，但在每一次計(jì)算 $B_{i, j}$ 時(shí)， $j$ 只有一個(gè)固定值，而 $q$ 卻是一個(gè) $1 ~ l$ 的范圍值。

具體地，在 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 選定以后，時(shí)間項(xiàng) $T_{i, j}$ 的分子值也隨即確定，當(dāng) $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 分別與周圍的近鄰樣本點(diǎn)在時(shí)間相關(guān)上越緊密，也即 $T_{i, j}$ 的兩個(gè)分母值越小， $T_{i, j}$ 整體數(shù)值也會(huì)越小，表示由兩個(gè)集群所表示的 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 在時(shí)間上也就越疏遠(yuǎn)。

對照以上分析，將圖1中的中心樣本及其鄰域投影到時(shí)間軸上，此時(shí)的示意圖如圖2(a)所示。當(dāng)考慮了鄰域樣本的局部時(shí)序關(guān)系后，該算法將圖2(a)中距離中心樣本近而時(shí)間相隔較遠(yuǎn)的樣本剔除，并選擇在時(shí)間和空間兩種約束下更為緊密的近鄰樣本，如圖2(b)所示，可以看出 $T$ 的數(shù)值變化對樣本間局部時(shí)間的刻畫是合理的。

圖2

圖2 時(shí)間投影上的樣本分布

中心樣本；時(shí)差小的近鄰樣本；時(shí)差大的近鄰樣本

Fig.2 The sample distribution on the time projection

2.1.2 鄰域加權(quán)

當(dāng)在時(shí)間窗中根據(jù) $B_{i, j}$ 選擇出 $k$ 個(gè)近鄰樣本之后，樣本 $x_{i}$ 對應(yīng)的局部時(shí)差樣本個(gè)數(shù)由原來的 $L$ 個(gè)變?yōu)?span style="box-sizing: border-box;padding: 0px"> $k$ 個(gè)， $T_{i, j}$ 的表示改為 $T_{i, s}$ $(s = 1, ?, k)$ 。 $x_{i}$ 的 $k$ 個(gè)近鄰為 $\{x_{s} | s = 1,2, ?, k\}$ 。對時(shí)間約束矩陣進(jìn)行歸一化處理，如式(8)所示。

$P_{i, s} = \frac{T_{i, s}}{\sum_{s = 1}^{k} T_{i, s}}$ (8)

然后，用于訓(xùn)練的樣本變量經(jīng)過式(9)實(shí)現(xiàn)加權(quán)。

$z_{i, s} = P_{i, s} ? x_{s}$ (9)

式中， $z_{i, s}$ 表示對樣本 $x_{i}$ 的第 $s$ 個(gè)近鄰樣本加權(quán)后的向量； $?$ 是克羅內(nèi)克積。

2.1.3 計(jì)算權(quán)值系數(shù)矩陣和映射矩陣

利用時(shí)間關(guān)系為近鄰樣本加權(quán)后，按式(10)求解使重構(gòu)誤差最小的權(quán)值系數(shù)矩陣 $W$ 。

$\begin{array}{l} E (W) = m i n \sum_{i = 1}^{N} {‖x_{i} - \sum_{s = 1}^{k} W_{i, s} z_{i, s}‖}^{2} \\ s . t . \sum_{s = 1}^{k} W_{i, s} = 1 \end{array}$ (10)

利用 $W$ 計(jì)算從高維原始空間到低維空間的特征映射矩陣 $A$ ，具體見式(11)、式(12)。

$E (A) = m i n {\sum_{i = 1}^{N} ‖y_{i} - \sum_{s = 1}^{k} W_{i, s} y_{s}‖}^{2}$ (11) $y_{s} = A^{T} x_{s}$ (12)

2.2 使用LTDCNPE進(jìn)行故障檢測

為了提高故障檢測模型在化工過程中的監(jiān)控效果，本文使用提出的LTDCNPE算法獲得投影矩陣 $A$ ，從新樣本 $x_{n e w} \in R^{D 1}$ 中提取出具有時(shí)間和空間局部特性的特征向量 $y_{n e w} \in R^{d 1}$ 。隨后，采用Hotelling $T^{2}$ 統(tǒng)計(jì)量以及SPE統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行故障檢測，計(jì)算公式為

$\begin{array}{l} T^{2} = y_{n e w}^{T} Λ^{- 1} y_{n e w} \\ S P E = {‖x_{n e w} - {\overset{?}{x}}_{n e w}‖}^{2} \end{array}$ (13)

其中， $Λ$ 為 $Y$ 的樣本協(xié)方差矩陣

$\begin{array}{l} Λ = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} y_{n e w} y_{n e w}^{T} \\ {\overset{?}{x}}_{n e w} = A y_{n e w} \end{array}$ (14)

因?yàn)楹嗣芏裙烙?jì)（kernel density estimation, KDE）方法[28-29]使用方便且具有更普遍的意義，本文使用該方法估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的控制限，假設(shè) $x$ 是一個(gè)隨機(jī)變量， $p (x)$ 為其密度函數(shù)，具體表達(dá)見式(15)。

$P (x < b) = \int_{- \infty}^{b} p (x) d x$ (15)

在已知 $p (x)$ 情況下，可以確定一個(gè)特定置信區(qū)間條件下的控制極限，這里選取的置信度為0.99，通過核函數(shù) $K (\cdot)$ 對 $x$ 的概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，定義公式如下。

$\overset{?}{p} (x) = \frac{1}{N h} K (\frac{x - x_{k}}{h})$ (16)

式中， $x_{k}$ ( $k = 1,2, ?, N$ )是 $x$ 的采樣點(diǎn)； $h$ 為帶寬，這里的核函數(shù)一般選用高斯函數(shù)。

基于LTDCNPE算法進(jìn)行離線建模和在線監(jiān)控的具體實(shí)施步驟如下。

離線建模階段：

(1) 以正常數(shù)據(jù) $X \in R^{D \times N}$ 作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，采用z-score方法進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；

(2) 利用式(6)、式(7)計(jì)算樣本間的空間約束 $D_{i, j}$ 和時(shí)間約束 $T_{i, j}$ ；

(3) 式(5)計(jì)算得到的局部差異 $B_{i, j}$ 作為選擇 $x_{i}$ 鄰域的標(biāo)準(zhǔn)，并選取最小的前 $k$ 個(gè)樣本作為重構(gòu)樣本；

(4) 利用式(8)、式(9)得到歸一化后的時(shí)間約束 $P_{i, s}$ 作為權(quán)值和加權(quán)后的近鄰樣本 $z_{i, s}$ ；

(5) 根據(jù)最小化公式式(10)獲得權(quán)值系數(shù)矩陣 $W$ ，并利用式(11)求解前 $m$ 個(gè)最小特征值對應(yīng)的特征向量，得到特征映射矩陣 $A$ ；

(6) 根據(jù)式(13)計(jì)算訓(xùn)練數(shù)據(jù)的 $T^{2}$ 和SPE統(tǒng)計(jì)量，并使用KDE方法估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的控制限。

在線監(jiān)控階段：

(1) 獲取新樣本 $x_{n e w}$ ，利用正常樣本下求得的均值和方差對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；

(2) 利用離線建模步驟(5)獲得的特征映射矩陣 $A$ 對 $x_{n e w}$ 進(jìn)行線性降維；

(3) 計(jì)算新樣本的 $T^{2}$ 和SPE統(tǒng)計(jì)量，將其與控制限進(jìn)行對比，判斷是否為故障樣本。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了說明LTDCNPE算法的有效性，本文使用數(shù)值例子和TE仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行故障檢測，并將所提出算法的性能與經(jīng)典算法PCA、NPE及其時(shí)間相關(guān)的衍生算法DNPE[24,30-31]進(jìn)行了比較。

3.1 數(shù)值例子仿真

本文采用Ku等[23]提出的多元?jiǎng)討B(tài)過程來驗(yàn)證所提方法的有效性：

$\begin{array}{l} z (t) = A z (t - 1) + B u (t - 1) \\ y (t) = z (t) + v (t) \end{array}$ (17)

式中， $A = [\begin{matrix} 0.188 & - 0.191 \\ 0.847 & 0.264 \end{matrix}]$ ； $B = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix}]$ ； $u (t)$ 、 $v (t)$ 和 $z (t)$ 分別代表輸入、輸出和狀態(tài)變量， $v (t)$ 為服從正態(tài)分布 $N (0,0.1)$ 的測量噪聲， $u (t)$ 的表示如式(18)所示：

$u (t) = [\begin{matrix} 0.811 & - 0.226 \\ 0.477 & 0.415 \end{matrix}] u (t - 1) + [\begin{matrix} 0.193 & 0.689 \\ - 0.320 & - 0.749 \end{matrix}] w (t - 1)$ (18)

式中， $w (t)$ 是服從 $N (0,1)$ 分布的白噪聲。用于過程監(jiān)控的數(shù)據(jù)向量表示為 $x (t) = [\begin{matrix} y (t) & u (t) \end{matrix}]$ 。在正常的運(yùn)行狀態(tài)下，采集500個(gè)樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。將本文提出的LTDCNPE算法和DNPE、NPE算法的近鄰數(shù)設(shè)為 $k = 4$ 。PCA的主元數(shù) $d = 2$ ，由85%的方差貢獻(xiàn)率確定。為了對比的公平性，LTDCNPE、NPE也降維到 $d = 2$ 。測試數(shù)據(jù)同樣采集500個(gè)樣本，從第201個(gè)樣本開始引入故障。故障描述如表1所示。

表1 過程故障描述

Table 1 Process fault description

故障	描述
1	對 $u (t)$ 引入幅值為2的階躍故障
2	系數(shù)矩陣 $A$ 的第 $2 \times 2$ 個(gè)元素值由0.264變?yōu)?.500，使?fàn)顟B(tài)變量 $z (t)$ 之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系發(fā)生變化

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測試集中各算法的漏報(bào)率（miss alarm rate, MAR）總結(jié)在表2中，用粗體數(shù)值表示檢測結(jié)果的最優(yōu)值。由表2可以看出當(dāng)故障1發(fā)生時(shí)，PCA算法和NPE算法的 $T^{2}$ 有很多漏報(bào)，而DNPE算法和LTDCNPE算法的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量漏報(bào)率都相對較低，且LTDCNPE算法的 $T^{2}$ 漏報(bào)率僅有0.33，效果更好。在故障2中，四種方法的結(jié)果相差不大，但是LTDCNPE算法仍然保持最低的 $T^{2}$ 漏報(bào)率。以上結(jié)果表明對時(shí)序系統(tǒng)進(jìn)行監(jiān)控時(shí)，LTDCNPE算法更加合理地考慮了連續(xù)數(shù)據(jù)間的時(shí)間關(guān)聯(lián)。

表2 數(shù)值例子的漏報(bào)率

Table 2 MAR in case study

Fault	MAR/%
	PCA		NPE		DNPE		LTDCNPE
	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE
1	58.67	1.33	62.00	2.00	1.00	1.32	0.33	2.00
2	1.67	1.67	1.67	1.67	1.66	1.66	1.39	1.67

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圖3是四種方法針對故障1數(shù)據(jù)的二維投影結(jié)果?？梢钥闯?，圖3(a)~(c)的故障樣本投影后有接近一半超過橢圓控制限，使正常樣本和故障樣本在二維投影平面上大量重疊，無法進(jìn)行區(qū)分。而LTDCNPE算法可以通過橢圓形的控制限將測試數(shù)據(jù)中的正常數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)很好地分開，兩部分?jǐn)?shù)據(jù)幾乎沒有重疊，表明數(shù)據(jù)中的時(shí)間序列在低維空間中得到了較好的保留和利用，從而提高了映射空間的質(zhì)量。圖4是四種方法針對故障1數(shù)據(jù)的控制圖。其中，圖4(a)、(b)的 $T^{2}$ 漏報(bào)率明顯偏高，圖4(c)、4(d)的 $T^{2}$ 及SPE統(tǒng)計(jì)量明顯高于控制限，但當(dāng)故障剛發(fā)生時(shí)，LTDCNPE的 $T^{2}$ 統(tǒng)計(jì)量可以更早發(fā)現(xiàn)故障，從而減少漏報(bào)率。

圖3

圖3 數(shù)值例子故障1的 $T^{2}$ 檢測結(jié)果

* 正常樣本；〇故障樣本；— 控制限

Fig.3 $T^{2}$ results of fault 1 in case study

圖4

圖4 數(shù)值例子故障1的控制圖

Fig.4 Control diagram of fault 1 in case study

3.2 TE過程仿真

TE過程是對實(shí)際工業(yè)過程的模擬，該平臺廣泛應(yīng)用于控制技術(shù)和監(jiān)測方法的開發(fā)、研究和評價(jià)[1,10,32-33]。該工藝過程包括反應(yīng)器、冷凝器、壓縮機(jī)、分離器和汽提塔5個(gè)主要生產(chǎn)單元[34]，8種成分，22個(gè)連續(xù)過程變量，19個(gè)成分變量，12個(gè)控制變量，21種故障。由于實(shí)際過程中的攪拌速率和成分變量很難實(shí)時(shí)采集，因此選用剩余的33個(gè)變量作為監(jiān)控的連續(xù)過程變量。故障4為反應(yīng)器冷卻水入口溫度的一個(gè)階躍變化，但在實(shí)際中相當(dāng)于過程中的干擾而非故障；故障3、9、15的數(shù)據(jù)在均值方差和高階矩上均沒有可以被觀測到的變化[35]，難以檢測且對監(jiān)測過程影響較小，因此本文選取剩余的17種故障進(jìn)行在線檢測。在此基礎(chǔ)上，采集正常工作模式下的960個(gè)樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，各種故障均在第161個(gè)樣本引入并收集960個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本。

在設(shè)置實(shí)驗(yàn)參數(shù)時(shí)將所有算法統(tǒng)計(jì)量的置信度設(shè)置為 $α = 99 %$ ，每個(gè)算法的低維空間維度以及時(shí)間尺度應(yīng)保持一致。考慮到PCA通過采用85%的方差貢獻(xiàn)率來確定降維的維度，因此實(shí)驗(yàn)中LTDCNPE、DNPE、NPE算法所選擇的主元個(gè)數(shù)為d=14。由于訓(xùn)練數(shù)據(jù)是TE過程穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)所采集的正常數(shù)據(jù)，不存在工況切換問題，所以時(shí)間窗長度為固定值L=44，由過程變量平方和的自相關(guān)來確定。根據(jù)文獻(xiàn)[36]，仍延續(xù)LLE算法提出的參數(shù)準(zhǔn)則，為保證降維數(shù)量小于近鄰樣本數(shù) $k$ 并且L=2k，實(shí)驗(yàn)選擇的近鄰樣本數(shù)量為k=22。在確定時(shí)間權(quán)重 $T$ 的步驟中，選取的鄰域尺度l=7。

為了更加全面地對比LTDCNPE算法和其他算法在實(shí)際中的有效性和可行性，本節(jié)不僅使用漏報(bào)率來對TE過程的17種故障數(shù)據(jù)進(jìn)行故障部分的檢測，還利用誤報(bào)率(fault alarm rate，F(xiàn)AR)來檢驗(yàn)不同算法對正常數(shù)據(jù)的效果。在表3中，誤報(bào)率均寫在括號內(nèi)。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以看出，LTDCNPE算法總體上提供了較低的漏報(bào)率。對于容易檢測的故障，四種算法的結(jié)果均能得到令人滿意的結(jié)果；對于初始階段難于檢測的故障10、16、19、20，三種對比方法的漏報(bào)率均很高，在實(shí)際應(yīng)用中無法提供可靠的報(bào)警，而LTDCNPE算法的漏報(bào)率仍能保持較低數(shù)值。從誤報(bào)率角度來看，PCA的誤報(bào)率相對其他三種方法偏高一點(diǎn)，其他三種方法的誤報(bào)率相差不大，整體上數(shù)值都比較低，說明對正常數(shù)據(jù)有較好的檢測效果。

表3 TE過程17種故障的漏報(bào)率和誤報(bào)率

Table 3 MAR and FAR of 17 faults in TE process

Fault	MAR(FAR)/%
	PCA		NPE		DNPE		LTDCNPE
	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE	$T^{2}$	SPE
1	0.88(0)	0.13(0.63)	0.88(0)	0.75(0)	0.13(0)	0.50(0)	0.25(1.25)	0.75(0)
2	1.63(1.25)	4(1.25)	1.63(1.25)	1.75(0)	1.25(0)	1.75(0)	1.50(0)	1.75(0)
5	75.88(0.63)	75.88(3.13)	76.25(0.63)	75.38(0.63)	0(1.25)	76.32(0.63)	0(0)	77.25(0.63)
6	0.88(0)	0(1.88)	0.75(0.63)	0(0)	0(1.88)	0(0.63)	0(0)	0(0)
7	0(0)	0(2.50)	0(0)	0(0)	0(1.25)	0(1.25)	0(0.63)	0(0)
8	3.13(0)	13.88(0.63)	3.25(0)	2.50(0)	2.26(0)	2.51(0)	2.25(0)	2.50(0)
10	70.38(0)	70.88(1.25)	70.63(0)	60.63(0)	46.49(0.63)	61.40(0)	12(1.25)	61.13(0)
11	59.38(0.63)	23.88(3.13)	59.25(0.63)	45.50(0.63)	57.39(0.63)	42.61(0)	38.13(0.63)	45.50(0.63)
12	1.63(0)	9.25(3.13)	1.63(0.63)	1.63(0)	0.38(0)	1.00(0)	0.13(1.88)	1.63(0)
13	6.38(0.63)	4.75(1.25)	6.25(0)	5.75(0)	5.51(0)	5.64(0)	4.75(0.63)	5.75(0)
14	0.75(0)	0(1.25)	1.25(0.63)	0.13(0)	0(0.63)	0(0.63)	0(0.63)	0.13(0)
16	86.50(3.75)	67.75(2.50)	84.88(3.13)	78.75(5.63)	55.26(1.88)	81.20(1.88)	8.88(7.50)	79.25(5.63)
17	23.75(1.25)	4.13(2.50)	24.50(1.88)	14.13(0)	14.29(0)	14.29(0)	9.13(0)	14.13(0)
18	10.75(0)	9.75(2.50)	10.63(0)	10.75(0)	10.78(0.63)	10.65(0)	9.63(0.63)	10.75(0)
19	89.00(0)	82.25(0.63)	88.38(0)	98.13(0)	71.43(0)	100(0)	22.00(0.63)	98.13(0)
20	68.25(0)	48.38(4.38)	65.13(0)	57.88(0)	50.50(0)	58.90(0)	11.00(0)	58.38(0)
21	60.75(0)	51.13(5.00)	60.50(0)	61.75(0)	51.13(0.63)	62.91(0)	42.00(3.13)	61.75(0)

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因此，綜合測試數(shù)據(jù)的漏報(bào)率和誤報(bào)率可以看出，LTDCNPE法在故障檢測過程中具有更佳的效果。與僅考慮空間結(jié)構(gòu)關(guān)系的傳統(tǒng)算法PCA和原始NPE算法相比，LTDCNPE算法明顯降低檢測的漏報(bào)率，與處理全局時(shí)序過程的DNPE算法進(jìn)行對比，LTDCNPE算法的效果也更為顯著，保留了更多的數(shù)據(jù)特征。

為了更直觀地表明LTDCNPE算法的優(yōu)勢，圖5和圖6展示了故障5、故障10兩種典型故障的檢測結(jié)果。故障5是冷凝器冷卻水的入口溫度產(chǎn)生的階躍變化。該故障的顯著影響是引起冷凝器冷卻水流量的階躍變化。當(dāng)故障發(fā)生時(shí)，從冷凝器出口到汽/液分離器的流速增加，導(dǎo)致汽/液分離器的溫度升高，并使分離器冷卻水出口溫度也升高[37]。但是控制回路能夠補(bǔ)償這個(gè)變化，并使分離器中的溫度返回到設(shè)置點(diǎn)。由圖5可以看出PCA算法和NPE算法雖然在故障初始階段能及時(shí)地反映出故障，但隨著過程的推進(jìn)，統(tǒng)計(jì)量又逐漸降低到控制限以下，而此時(shí)過程中的故障仍然存在，所以無法持續(xù)進(jìn)行故障的監(jiān)測。這表明一旦忽略了實(shí)際過程中的時(shí)序特性，無論使用全局?jǐn)?shù)據(jù)還是利用局部信息建立模型，都無法實(shí)時(shí)反映過程的真實(shí)狀態(tài)。而四種方法的SPE統(tǒng)計(jì)量都是先超限持續(xù)一段時(shí)間后又回到正常，這與33個(gè)變量特征提取和變換時(shí)被賦予的權(quán)重大小有關(guān)。對于故障5中先發(fā)生異常后恢復(fù)至原始狀態(tài)的變量，其對應(yīng)的權(quán)重較大，而保持穩(wěn)定的變量以及一直保持故障狀態(tài)的變量所對應(yīng)的權(quán)重在大多情況下數(shù)值較小，保留的信息較少，使得這部分變量的信息被掩蓋在了可恢復(fù)正常變量的信息中。所以最終SPE統(tǒng)計(jì)量的變化也符合這個(gè)變化趨勢，使SPE數(shù)值最終回到正常范圍內(nèi)，無法很好區(qū)分正常和故障時(shí)候的數(shù)據(jù)。

圖5

圖5 故障5的TE過程檢測結(jié)果

Fig.5 Monitoring results of the Tennessee Eastman process for fault 5

圖6

圖6 故障10的TE過程檢測結(jié)果

Fig.6 Monitoring results of the Tennessee Eastman process for fault 10

故障10為一種隨機(jī)故障，過程中的某些變量在不同時(shí)刻隨機(jī)進(jìn)行變化，檢測結(jié)果如圖6所示。在故障發(fā)生的初期，圖6(d)中的 $T^{2}$ 統(tǒng)計(jì)量可以快速捕捉過程的變化并一直具備報(bào)警趨勢，結(jié)果符合實(shí)際生產(chǎn)需求。另外三種方法不僅初期無法做出報(bào)警，而且大部分時(shí)間無法有效檢測出故障，存在較高的漏報(bào)率。相比于PCA算法和NPE算法，DNPE算法雖然使漏報(bào)率稍微降低，但仍不能正確表征過程的真實(shí)工作情況。

由數(shù)值例子實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，LTDCNPE算法可以有效識別階躍故障和隨機(jī)故障，并且相比于其他方法，具有更高的準(zhǔn)確率。由TE平臺的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，PCA算法使用全局?jǐn)?shù)據(jù)建立的模型無法實(shí)時(shí)地反映過程的真實(shí)狀態(tài)；NPE算法作為一種較為原始的利用局部信息進(jìn)行建模的方法，忽略了實(shí)際過程擁有的時(shí)序特性；DNPE算法構(gòu)建增廣向量，通過消除輸入變量的相關(guān)性來考慮樣本的自相關(guān)性，但它仍未很好地捕捉到數(shù)據(jù)間的時(shí)變。LTDCNPE算法克服了以上算法的缺點(diǎn)，可以同時(shí)提取數(shù)據(jù)中的局部結(jié)構(gòu)和時(shí)序信息，對各類故障均能夠做出反應(yīng)，快速捕捉過程的變化，結(jié)果符合實(shí)際生產(chǎn)需求。

4 結(jié)論

本文提出一種基于LTDCNPE算法的工業(yè)過程故障檢測方法，通過關(guān)注局部時(shí)差和局部幾何結(jié)構(gòu)，克服了傳統(tǒng)PCA算法和NPE算法僅考慮不同樣本空間距離的缺點(diǎn)，改進(jìn)了DNPE算法提取時(shí)間特征的方式。LTDCNPE算法使用一種新的鄰域選擇方法，從時(shí)間和空間角度進(jìn)行考慮，挑選出更加合適的近鄰樣本對原始樣本進(jìn)行重構(gòu)，并利用它們的時(shí)序差異為近鄰樣本進(jìn)行加權(quán)，盡可能保留原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，降低信息的丟失程度。通過對比PCA、NPE、DNPE、LTDCNPE算法在數(shù)值例子和TE仿真實(shí)驗(yàn)中的結(jié)果，可以看出LTDCNPE算法挑選的時(shí)序特征更加合理，并且其在降維和檢測效果上的表現(xiàn)也得到了驗(yàn)證。

符號說明

$A$	特征映射矩陣， $A∈RD×d$
$B$	局部時(shí)間空間差異矩陣， $B∈RN×k$
$D$	空間約束矩陣， $D∈RN×k$
$D$	輸入變量數(shù)
$d$	降維后的維數(shù)
$E$	最小化重構(gòu)誤差
$h$	帶寬
$I$	單位矩陣， $I∈RN×N$
$K?$	核函數(shù)
$k$	構(gòu)造鄰域連接圖所需的近鄰樣本數(shù)
$L$	樣本具有時(shí)序相關(guān)性的時(shí)間窗長度
$l$	鄰域尺度
$m$	選取的特征值數(shù)量
$N$	輸入樣本數(shù)
$P$	歸一化的時(shí)間約束矩陣， $P∈RN×k$
$p?$	密度函數(shù)
$T$	時(shí)間約束矩陣， $T∈RN×k$
$t1$ ， $t2$ ， $t3$	鄰域中近鄰樣本與中心樣本之間的采樣時(shí)差
$t?$	樣本對應(yīng)的采樣時(shí)間
$W$	最優(yōu)權(quán)值系數(shù)矩陣， $W∈RN×N$
$X$	輸入矩陣， $X∈RD×N$
$xnew$	新樣本， $xnew∈RD×l$
$Y$	特征矩陣， $Y∈Rd×N$
$ynew$	新樣本對應(yīng)的特征向量， $ynew∈Rd×l$
$z$	近鄰樣本加權(quán)后的矩陣， $z∈RN×k$
$Λ$	$Y$ 的樣本協(xié)方差矩陣， $Λ∈Rd×d$
上角標(biāo)
$q$	鄰域中樣本的近鄰樣本序號
下角標(biāo)
$i$	輸入樣本序號
$j$	構(gòu)造鄰域連接圖的樣本序號
$s$	重新選取的構(gòu)造鄰域連接圖的樣本序號

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