微納多孔結(jié)構(gòu)中稀薄氣體流動(dòng)滲透率的解析型預(yù)測模型

作者：楊光程鑫王崢王曄張良俊吳靜怡來源：《化工學(xué)報(bào)》日期：2022-10-28人氣：2288

多孔結(jié)構(gòu)中的稀薄氣體流動(dòng)機(jī)理在石油化工、能源利用、航空航天等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]，如航天推進(jìn)劑的增壓輸送、非常規(guī)油氣開采、質(zhì)子交換膜燃料電池、CO2封存、核廢料處理等。近年來，3D打印、MEMS技術(shù)的發(fā)展也推動(dòng)著對微納尺度氣體流動(dòng)特性的深入研究[4-5]。當(dāng)多孔結(jié)構(gòu)的孔隙尺度足夠小，或者氣體工質(zhì)處于低壓狀態(tài)時(shí)，氣體分子的平均自由程與孔隙的特征長度相當(dāng)，氣體分子與固體壁面的碰撞頻率和氣體分子間的碰撞頻率相近，即產(chǎn)生稀薄氣體效應(yīng)。該現(xiàn)象通常用Knudsen數(shù)（Kn）來量化，它表征了氣體分子平均自由程（λ）與流動(dòng)特征長度（Lc）的比值，并可將氣體的流動(dòng)大致分為四種狀態(tài)：連續(xù)流（Kn≤0.001），滑移流（0.001<Kn≤0.1），過渡流（0.1<Kn≤10）和自由分子流（Kn>10）。對于非連續(xù)區(qū)的高Kn流動(dòng)，壁面流動(dòng)速度的“無滑移”假設(shè)不再成立，從而導(dǎo)致氣體的表觀滲透率高于材料的固體滲透率，這種現(xiàn)象也被稱為Klinkenberg效應(yīng)。而目前常用的多孔結(jié)構(gòu)滲透率模型，如Carman-Kozeny模型、Rumpf-Gupte模型等均未考慮氣體稀薄效應(yīng)的影響。

Klinkenberg[6]提出了多孔結(jié)構(gòu)中稀薄氣體表觀滲透率的表達(dá)式Ka=K∞(1+n/p)。其中，K∞為材料的固有滲透率，只與多孔材料本身的幾何特征有關(guān)；n為修正因子，取決于孔隙尺度的流動(dòng)形態(tài)，也可以表示為Kn的函數(shù)。在過去的幾十年中，國內(nèi)外學(xué)者在上述表達(dá)式的基礎(chǔ)上提出了更多形式的表觀滲透率關(guān)聯(lián)式[7-13]，以適用于具有復(fù)雜孔隙形式的多孔結(jié)構(gòu)以及高壓等復(fù)雜條件。然而，現(xiàn)有稀薄氣體流動(dòng)滲透率的關(guān)聯(lián)式大多為半解析型或經(jīng)驗(yàn)型，其模型參數(shù)通過數(shù)值模擬或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)擬合的方式獲得。此外，由于在不同應(yīng)用中的多孔結(jié)構(gòu)形式多樣、孔隙的幾何拓?fù)鋸?fù)雜，不同關(guān)聯(lián)式通常只適用于特定形式的多孔結(jié)構(gòu)。隨著微納制造技術(shù)的發(fā)展，使得具有有序性孔隙的微納多孔結(jié)構(gòu)得以工程化應(yīng)用[14-19]。由于其孔隙的三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有精確的數(shù)學(xué)描述，為從孔隙尺度流動(dòng)機(jī)理層面上獲得表觀滲透率的解析型模型提供了可能。

本文從多孔結(jié)構(gòu)孔隙尺度的流動(dòng)機(jī)理出發(fā)，確定了多孔結(jié)構(gòu)固有滲透率、孔隙率、彎曲度、收縮-擴(kuò)張因子和有效孔隙尺寸之間的定量關(guān)系。并以此為基礎(chǔ)，定義一種新的多孔結(jié)構(gòu)有效孔隙尺寸。該有效孔隙尺寸可以完全利用多孔結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)進(jìn)行確定，不依賴于仿真或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的輸入。通過將該有效孔隙尺寸與稀薄氣體管道流動(dòng)模型相結(jié)合，推導(dǎo)出一種具有通用性的稀薄氣體表觀滲透率模型?；诟呔鹊闹苯幽MMonte Carlo方法（direct simulation Monte Carlo, DSMC）對不同工況下的流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值模擬分析，對所提模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 理論分析

1.1 多孔結(jié)構(gòu)固有滲透率表達(dá)式

固有滲透率，也稱為絕對滲透率，反映了多孔材料本身的屬性，其值為滿足Darcy定律條件時(shí)的單相流動(dòng)滲透率。忽略多孔結(jié)構(gòu)中的閉合孔隙，當(dāng)孔隙空間Ω中充滿不可壓縮的低Reynolds數(shù)（Re<1）牛頓流體時(shí)，孔隙中的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)可由Stokes方程和連續(xù)性方程控制：

$μ ?^{2} u = ? p$ （1） $? ? u = 0$ （2）

假設(shè)多孔結(jié)構(gòu)孔隙中的任何一點(diǎn)都隸屬于某條連通了多孔區(qū)域入口和出口的流線S。令Ω表示所有流線所占據(jù)空間的集合，則孔隙率可定義為Ω和多孔介質(zhì)總體積V的比值，即

$ε = \frac{Ω}{V}$ （3）

多孔介質(zhì)中牛頓流體的緩慢流動(dòng)特性可以由Darcy定律描述

$K_{\infty} = - \frac{Q μ L}{A Δ p}$ （4）

式中，Q為流體的流量；A為多孔介質(zhì)截面積；L為多孔區(qū)域長度； $Δ$ p為流過多孔區(qū)域的前后壓差。Darcy定律也可寫成沿流體區(qū)域的積分形式：

$K_{\infty} = - \frac{Q μ L}{A Δ p} = ε \frac{1}{Ω} \int_{Ω}^{} - μ ? p ? u {(\frac{L}{Δ p})}^{2} d V$ （5）

定義微元的滲透率因子 $k$ ：

$k = \frac{K_{\infty}}{ε} = \frac{1}{Ω} \int_{Ω}^{} - μ ? p ? u {(\frac{L}{Δ p})}^{2} d V$ （6）

按照前面的假設(shè)，將孔隙空間Ω離散為無數(shù)個(gè)流線S的集合，并定義單條流線上的滲透率因子：

$k (S) = - \frac{μ L^{2}}{Δ p}$ （7）

結(jié)合式（6）、式（7），可以得出[20]

$k = \frac{1}{Ω} \int_{?}^{} k (S) d Q_{S} = \frac{k (S)}{Ω} \int_{?}^{} d Q_{S} = \frac{Q}{Ω} k (S)$ （8）

式中，?為兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)x和y構(gòu)成的二維面域。由于多孔結(jié)構(gòu)孔隙中的流線特征與孔隙彎曲度和收縮-擴(kuò)張?zhí)匦杂嘘P(guān)。下面分別對其進(jìn)行定義。

孔隙的彎曲度可定義為多孔介質(zhì)長度L和實(shí)際流線長度Ls的比值[圖1(a)]：

$τ (S) = \frac{L}{L_{s}}$ （9）

圖1

圖1 理想多孔介質(zhì)中的微元流管

Fig.1 Micro-element flow tube in idealized porous media

其值越小代表孔隙的彎曲程度越大（也有文獻(xiàn)中采用相反比值的定義）。

對于變截面流動(dòng)通道[圖1(b)]，通道長度為L，通道長度方向位置x處的流動(dòng)截面積為 $A (x)$ ，其截面的收縮-擴(kuò)張因子可以描述為：

$C = \frac{1}{L^{2}} \int_{0}^{L} A {(x)}^{2} d x \int_{0}^{L} \frac{1}{A {(x)}^{2}} d x$ （10）

根據(jù)面積與壓差的關(guān)系[21]，進(jìn)一步可得

$C = \frac{1}{L^{2}} \int_{0}^{L} \frac{1}{? p (x)} d x \int_{0}^{L} ? p (x) d x$ （11）

將上式應(yīng)用于流線S上，并利用沿流線的壓力梯度 $\frac{δ p}{δ S} = \frac{? p ? u}{u}$ 替換式（11）中的壓力梯度，可得到流線上的收縮-擴(kuò)張因子表達(dá)式：

$C (S) = \frac{1}{L_{s}^{2}} \int_{S}^{} \frac{u}{? p ? u} d S \int_{S}^{} \frac{? p ? u}{u} d S = \frac{1}{L_{s}^{2}} Δ p \int_{S}^{} \frac{u}{? p ? u} d S$ （12）

根據(jù)水力傳導(dǎo)系數(shù)的定義[22]：

$B = - \frac{μ u^{2}}{? p ? u}$ （13）

則單條流線上的水力傳導(dǎo)系數(shù)為：

$B (S) = \int_{S}^{} B \frac{1}{u} d S = \int_{S}^{} - \frac{μ u}{? p ? u} d S$ （14）

結(jié)合式（7）、式（9）、式（12）、式（14），可得，在單條流線上滿足如下關(guān)系式：

$k (S) = \frac{B (S) τ {(S)}^{2}}{C (S)}$ （15）

將式（15）中的各變量在孔隙空間Ω內(nèi)進(jìn)行體積積分，并結(jié)合式（6）可得

$K_{\infty} = \frac{τ^{2} B ε}{C}$ （16）

式（16）給出了固有滲透率、水力傳導(dǎo)系數(shù)、孔隙率、孔隙彎曲度和收縮-擴(kuò)張因子之間的定量關(guān)系。

結(jié)合式（5）和式（16）可以得出，對于平直圓管中的流動(dòng)

$K_{\infty} = - \frac{Q μ L}{A Δ p} = B$ （17）

另外，平直圓管流動(dòng)可以利用Hagen-Poisseuille方程來描述

$Q = - \frac{π R^{4} Δ p}{8 μ L}$ （18）

式中，R為圓管的管道半徑。結(jié)合式（17）和式（18）可以得出管道半徑 $R = \sqrt[]{8 B}$ 。因此，通過上述類比，對于由復(fù)雜孔隙組成的多孔結(jié)構(gòu)，可將表征孔隙有效尺寸的特征半徑取 $R_{c} = \sqrt[]{8 B}$ ，并結(jié)合式（16），即

$R_{c} = \sqrt[]{\frac{8 K_{\infty} C}{τ^{2} ε}}$ （19）

由于 $K_{\infty}$ 、C、 $τ$ 和 $ε$ 均只與多孔結(jié)構(gòu)孔隙的幾何信息有關(guān)，按照式（18）定義的Rc也只取決于多孔結(jié)構(gòu)的幾何特性。

1.2 多孔結(jié)構(gòu)中的稀薄氣體滲透率模型

氣體的稀薄程度可以用Knudsen數(shù)來表示，對于平直圓管流動(dòng)：

$K n = \frac{λ}{R}$ （20）

式中，λ為氣體分子平均自由程。根據(jù)Bird[23]提出的可變硬球模型（variable hard sphere, VHS），實(shí)際氣體的平均分子自由程可以表示為：

$λ = \frac{2 (5 - 2 ω) (7 - 2 ω)}{15} {(\frac{m}{2 π b T})}^{\frac{1}{2}} \frac{μ}{ρ}$ （21）

式中，μ為氣體動(dòng)力黏度；ρ為氣體密度；m為氣體分子質(zhì)量；b為Boltzmann常數(shù)，取值1.38×10-23； $ω$ 為溫度系數(shù)，反映了黏度與溫度間的關(guān)系。

早在1909年，Knudsen發(fā)現(xiàn)隨著平均壓力降低氣體密度減小，在給定壓降下通過毛細(xì)管的氣體質(zhì)量流量會先減小后增大，并提出了如下公式來計(jì)算高Knudsen數(shù)下的氣體流量[24]：

$\frac{K_{a}}{K_{\infty}} = 1 + \frac{64}{3 π} \times \frac{1 + c_{1}^{K} p}{1 + c_{2}^{K} p} K n$ （22） $c_{1}^{K} p = \sqrt[]{\frac{π}{2}} \times \frac{2}{K n}, c_{2}^{K} p = \sqrt[]{\frac{π}{2}} \times \frac{2.47}{K n}$ （23）

對于實(shí)際多孔材料，由于孔隙幾何特征的復(fù)雜性，特征長度不能通過直徑或半徑來直接獲得。由于從本質(zhì)上來講，Knudsen數(shù)的分母中的特征長度為氣體分子與固體分子間的平均碰撞距離，可按照式（19）的定義對其進(jìn)行確定。因此，可將式（20）、式（22）、式（23）進(jìn)一步寫為

$K n_{p} = \frac{λ τ \sqrt[]{ε}}{\sqrt[]{8 K_{\infty} C}}$ （24） $\frac{K_{a}}{K_{\infty}} = 1 + \frac{64}{3 π} \times \frac{1 + c_{1}^{K} p}{1 + c_{2}^{K} p} K n_{p}$ （25） $c_{1}^{K} p = \sqrt[]{\frac{π}{2}} \times \frac{2}{K n_{p}}, c_{2}^{K} p = \sqrt[]{\frac{π}{2}} \times \frac{2.47}{K n_{p}}$ （26）

因此，根據(jù)式(21)、式(24)~式(26)，可以在孔隙幾何結(jié)構(gòu)和氣體的狀態(tài)參數(shù)已知的情況下，對多孔結(jié)構(gòu)中稀薄氣體的表觀滲透率進(jìn)行預(yù)測計(jì)算。

2 DSMC模擬驗(yàn)證

2.1 數(shù)學(xué)模型

為了驗(yàn)證本文所提出的表觀滲透率模型的準(zhǔn)確性，基于直接模擬Monte Carlo方法（DSMC）開展了不同條件下的多孔結(jié)構(gòu)稀薄氣體流動(dòng)特性仿真。DSMC是一種基于粒子運(yùn)動(dòng)的模擬方法，并收斂于Boltzmann方程[25]，因此可以對稀薄狀態(tài)下的氣體流動(dòng)過程進(jìn)行精確模擬。DSMC的模擬精度已通過不同Kn區(qū)間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所驗(yàn)證[26]。其在特定問題上的模擬精度高于格子Boltzmann方法，效率高于分子動(dòng)力學(xué)模擬。本文的DSMC代碼已在基于C++的開源平臺OpenFOAM上實(shí)現(xiàn)（dsmcFoam）[27]。流體區(qū)域中的計(jì)算網(wǎng)格尺寸設(shè)置為氣體最小平均自由程的1/3，計(jì)算時(shí)間步長設(shè)置為分子的平均碰撞時(shí)間的1/5。為了減少統(tǒng)計(jì)誤差和提高模擬精度，每個(gè)計(jì)算單元內(nèi)設(shè)置不少于10個(gè)粒子[28]。采用無時(shí)間計(jì)數(shù)器（no time counter, NTC）方法選擇碰撞對，采用可變硬球模型（VHS）和Larsen-Borgnkke內(nèi)能重分布模型模擬粒子間的碰撞行為。DSMC模擬的典型步驟包括：（1）將計(jì)算粒子索引到計(jì)算單元；（2）計(jì)算追蹤粒子的運(yùn)動(dòng)；（3）進(jìn)行碰撞并計(jì)算碰撞后的狀態(tài)。重復(fù)這些流程直到宏觀變量的統(tǒng)計(jì)誤差足夠小。最后通過對每個(gè)單元的粒子特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)采樣和平均化處理，得到壓力、密度、速度、溫度等宏觀參數(shù)[29]。本文所采用的DSMC方法已在作者前期的研究中得到驗(yàn)證[29]。

2.2 物理模型與流動(dòng)特性

在本文的驗(yàn)證性模擬中，采用了三種形式的孔隙結(jié)構(gòu)。如圖2所示，組成多孔結(jié)構(gòu)的固體微元分別設(shè)置為三維立方體[圖2（a）]、二維圓形[圖2（b）]和二維矩形[圖2（c）]。沿x方向設(shè)置壓力入口和壓力出口，y（z）方向采用周期性邊界條件。氣體入口溫度和固體微元表面溫度均恒定為273 K。固體微元的尺寸區(qū)間范圍為20~400 nm。通過改變微元間距，調(diào)節(jié)孔隙率范圍為0.12≤ε≤0.90。分別以氬氣（Ar）、氦氣（He）、氮?dú)猓∟2）和甲烷（CH4）為流動(dòng)工質(zhì)，其物性如表1所示。此外，圖2也給出了在Knp =1時(shí)不同形式的多孔結(jié)構(gòu)孔隙中的速度分布云圖，不同結(jié)構(gòu)內(nèi)的氣體速度沿流動(dòng)方向均逐漸增大，這是因?yàn)殡S著氣流向出口發(fā)展，局部壓力減小，導(dǎo)致氣體密度也逐漸減小。

圖2

圖2 多孔結(jié)構(gòu)的物理模型及在Knp =1條件下的典型流場分布

Fig.2 Physical modes of the porous structures and flow fields at Knp =1

表1 氣體工質(zhì)物性［23］

Table 1 Physical properties of gas species［23］

氣體種類	分子直徑(d)/ 10-10 m	分子質(zhì)量(m)/ 10-23 kg	自由度(ξ)	溫度系數(shù)(ω)
氬氣 (Ar)	4.17	66.3	3	0.81
氦氣 (He)	2.33	6.65	3	0.66
甲烷 (CH4)	4.83	26.6	6.4	0.84
氮?dú)?(N2)	4.17	46.5	5	0.74

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2.3 多孔結(jié)構(gòu)中的稀薄氣體滲透率特性

圖3（a）為在固體微元為矩形[圖2（c）]，D1=D2=100 nm，孔隙率ε=0.75，入口壓力0.25 MPa，出口壓力0.05 MPa條件下，采用不同氣體工質(zhì)時(shí)多孔結(jié)構(gòu)中心線（y=0）上的速度分布。在該邊界條件下，氦氣分子的平均自由程最大，因此氣體的稀薄性最強(qiáng)，相應(yīng)的Kn也最高。由于該中心線交替穿過固體和流體區(qū)域，所有工質(zhì)對應(yīng)的速度曲線都呈現(xiàn)出波動(dòng)形式；對于不同氣體種類，沿流程的速度波動(dòng)幅值：氦氣>甲烷>氮?dú)?gt;氬氣。隨著氣體壓力從入口到出口的下降，氣體密度沿著流動(dòng)方向逐漸減小，速度則逐漸增大。對于不同的氣體工質(zhì)，在相同邊界條件下的體積流量相對大小為：Q(氦氣)>Q(甲烷)>Q(氮?dú)?>Q(氬氣)。然而，由于氣體密度的差異，它們對應(yīng)質(zhì)量流量的相對大小則相反。在圖3（a）的條件下，氦氣、甲烷、氮?dú)夂蜌鍤庠趩挝婚L度入口下的質(zhì)量流量分別為5.53、11.1、14.0和16.5 kg/(m·s)。圖3（b）為以氮?dú)鉃楣べ|(zhì)并將圖3（a）中的固體微元尺寸分別設(shè)定為20、100和400 nm時(shí)，多孔結(jié)構(gòu)中心線（y=0）上的速度分布?？梢钥闯?，不同單元尺度下的速度分布是相似的，且在微元的尾流區(qū)域未出現(xiàn)回流現(xiàn)象，這是因?yàn)閿U(kuò)散作用相比對流作用更占主導(dǎo)地位。圖4分別給出了與上述相同邊界條件下微元尺寸為20 nm時(shí)的氬氣、氮?dú)狻⒓淄楹秃庠趩卧嚵兄兴俣却笮〖傲骶€的分布；可以看出，在相同條件下氦氣的最大流速遠(yuǎn)高于氬氣和氮?dú)猓@是因?yàn)楹饩哂懈蟮钠骄肿幼杂沙?，從而?dǎo)致其Knudsen數(shù)比其他分子高得多，同時(shí)也證明了氣體種類對多孔介質(zhì)中滲流特性的重要影響。

圖3

圖3 多孔結(jié)構(gòu)中心線（y=0）上的速度分布

Fig.3 Distributions of velocity magnititudes at y=0

圖4

圖4 D = 20 nm時(shí)氬氣、氮?dú)?、甲烷和氦氣的流速和流線分布

Fig.4 Velocity profiles and streamlines for argon, nitrogen, methane, and helium flows at D = 20 nm

實(shí)際上，上述流動(dòng)規(guī)律均可通過稀薄氣體表觀滲透率模型來進(jìn)行定量描述。根據(jù)Darcy定律，在速度場已知的情況下，多孔介質(zhì)中可壓縮流體的表觀滲透率（Ka）可以用式(27)計(jì)算：

$K_{a} = \frac{2 μ L p_{o u t} {\overset{ˉ}{u}}_{x, o u t}}{p_{i n}^{2} - p_{o u t}^{2}}$ （27）

式中， ${\overset{ˉ}{u}}_{x, o u t}$ 為多孔介質(zhì)出口處的氣體宏觀平均速度。本文對不同孔隙形式（方形、圓形、矩形、立方體）、孔隙率（0.17~0.90）、氣體成分（氦氣、甲烷、氮?dú)?、氬氣）以及不同進(jìn)出口壓力下50組不同工況的氣體流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行DSMC模擬，并利用式（27）進(jìn)行表觀滲透率計(jì)算。通過圖5可以發(fā)現(xiàn)，如果以式（24）所表示的Knp 為橫軸，以相應(yīng)的Ka/K∞為縱軸，在整個(gè)Knp =0.01~10范圍內(nèi)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)均可近似分布于同一條曲線上。該曲線恰好與本文所提出的理論滲透率模型一致。模擬結(jié)果與理論模型的平均相對誤差小于10%。

圖5

圖5 不同Knp 下的表觀滲透率與固有滲透率比值

Fig.5 Variation of Ka/K∞ with different Knp

3 結(jié)論

多孔結(jié)構(gòu)中稀薄氣體流動(dòng)的表觀滲透率是航空航天、能源化工等領(lǐng)域相關(guān)應(yīng)用中的重要參數(shù)。本文從多孔結(jié)構(gòu)孔隙的幾何拓?fù)涮匦猿霭l(fā)，將固有滲透率、孔隙率、孔隙彎曲度和孔隙收縮-擴(kuò)張因子作為基本參數(shù)定義了一種新的多孔結(jié)構(gòu)有效孔隙尺寸。將該有效孔隙尺寸與現(xiàn)有的稀薄氣體管道流動(dòng)模型相結(jié)合，理論推導(dǎo)出了一種具有通用性的稀薄氣體滲透率模型。通過該模型，可以在孔隙三維幾何結(jié)構(gòu)和氣體的狀態(tài)參數(shù)已知的情況下對多孔結(jié)構(gòu)中稀薄氣體的表觀滲透率進(jìn)行預(yù)測計(jì)算。

為了驗(yàn)證本文所提滲透率模型的準(zhǔn)確性，在開源平臺OpenFOAM上開展了直接Monte Carlo（DSMC）模擬。對不同孔隙微元形式（方形、圓形、矩形、立方體）、孔隙率（0.17~0.90）、氣體成分（氦氣、甲烷、氮?dú)?、氬氣）以及不同進(jìn)出口壓力下共50組不同工況的氣體流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行DSMC模擬，并基于模擬結(jié)果計(jì)算出氣體的表觀滲透率。氣體成分對流動(dòng)狀態(tài)的影響顯著，在相同的壓力邊界條件下不同氣體的體積流量的相對大小為：氦氣>甲烷>氮?dú)?gt;氬氣。而由于氣體密度的差異，它們質(zhì)量流量的大小順序則相反。在整個(gè)Knp =0.01~10范圍內(nèi)，不同氣體、不同孔隙結(jié)構(gòu)以及不同壓力條件下的模擬結(jié)果與滲透率模型預(yù)測結(jié)果間的平均相對誤差小于10%。

因此，本文所提出的解析型模型可以充分描述多孔結(jié)構(gòu)中氣體流動(dòng)的Klinkenberg效應(yīng)，且不依賴于仿真或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)作為模型輸入條件，為分析和評估微納尺度或低氣壓狀態(tài)下有序性多孔結(jié)構(gòu)的氣體滲透率特性提供了一種新的解決思路。

符號說明

B	水力傳導(dǎo)系數(shù)
C	收縮-擴(kuò)張因子
D	模型中微單元的特征尺寸，m
k	微元滲透率，m2
L	多孔區(qū)域長度，m
R	半徑，m
Rc	有效孔隙半徑，m
u	流體速度矢量，m/s
V	多孔介質(zhì)總體積，m3
ρ	氣體密度，kg/m3
τ	彎曲度
$ω$	溫度系數(shù)
下角標(biāo)
in	入口
out	出口
s	流線

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