非線性超快成像技術(shù)的時(shí)間分辨率探究

為了比較基于不同非線性過程方式的取樣對(duì)超快成像的影響，采用Matlab軟件對(duì)超快成像過程進(jìn)行模擬．模擬參數(shù)如下：激光脈沖寬度，即取樣脈沖寬度τ_p=100 fs；探測(cè)光場(chǎng)和開關(guān)脈沖光場(chǎng)的延時(shí)為τ=0；被成像對(duì)象是由兩個(gè)拓?fù)浜蔀椤?的渦旋光場(chǎng)疊加而成的旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)，相應(yīng)地Δl=4，即靜態(tài)光強(qiáng)為具有4個(gè)切向均勻分布的瓣?duì)罟獍撸畧D2為基于倍頻方式取樣下，探測(cè)器記錄到超快成像的數(shù)值模擬結(jié)果．在此過程中，Δω從第1子圖的2π Trad/s勻速增加到第20子圖的40π Trad/s （相鄰兩幅子圖的Δω=2π Trad/s），相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期從1 ps降為50 fs．在子圖1至4中，4個(gè)瓣?duì)罟獍咔逦赊q，而在第5子圖，瓣?duì)罟獍哌吘壋霈F(xiàn)了明顯的“光暈”．隨著Δω的增加，“光暈”越來越嚴(yán)重，同時(shí)光瓣尺度沿切向逐漸伸展使得相鄰光瓣趨向相互連接．到子圖8和9，4個(gè)光瓣相互連接成1個(gè)光環(huán)．此后，隨著轉(zhuǎn)速的加快，光環(huán)的切向強(qiáng)度分布逐漸均勻化，以至于從子圖11和12開始，已基本難以看到光環(huán)切向強(qiáng)度分布的不均勻現(xiàn)象，光斑分布與LG₀₂模相近．圖2的這些現(xiàn)象與目標(biāo)轉(zhuǎn)速及其激光脈沖寬度τ_p密切相關(guān)．在子圖4之前，Δω<8π Trad/s，即轉(zhuǎn)動(dòng)周期大于250 fs，明顯大于τ_p （100 fs），可見，當(dāng)光場(chǎng)旋轉(zhuǎn)周期明顯大于開關(guān)脈沖寬度時(shí)，超快成像可很好地分辨旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)快速變化的強(qiáng)度分布．子圖8至10對(duì)應(yīng)于Δω=16π、18π和20π Trad/s，相應(yīng)的光場(chǎng)旋轉(zhuǎn)周期分別為125、111和100 fs，與τ_p相近，超快成像記錄的光場(chǎng)強(qiáng)度分布出現(xiàn)模糊，說明此時(shí)光場(chǎng)旋轉(zhuǎn)周期與成像時(shí)間分辨相當(dāng)．進(jìn)一步，光場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)周期遠(yuǎn)小于τ_p時(shí)，超快成像已明顯不能分辨旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)的切向強(qiáng)度分布細(xì)節(jié)．

圖2 基于倍頻取樣的不同拍頻旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)的超快成像Fig. 2 (Color online) Second harmonic (SH) sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=2π Trad/s to Δω=40π Trad/s.

為定量描述拍頻增加所引起超快成像效果的劣化程度，引入調(diào)制度對(duì)光瓣動(dòng)態(tài)模糊的程度進(jìn)行描述．以光斑中心到4個(gè)瓣峰值位置的距離為半徑做圓，將調(diào)制度定義為η=( I_M-I_m )/( I_M+I_m )，其中， I_M為圓周上最大光強(qiáng)值；I_m為圓周上最小光強(qiáng)值．假設(shè)η下降到0. 5和0. 1分別對(duì)應(yīng)于成像清晰度較好和勉強(qiáng)可辨認(rèn)的情況，相應(yīng)的拍頻值記為Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}．圖3實(shí)線為倍頻取樣方式下，所記錄的超快成像對(duì)應(yīng)的調(diào)制度隨拍頻的變化情況．可見，對(duì)于倍頻情況， Δω_0.5=4.4×2π Trad/s 和 Δω_0.1=8.1×2π Trad/s，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)周期為227 fs和123 fs．采用與圖2相同的模擬參數(shù)，圖4為克爾開關(guān)取樣方式下探測(cè)器記錄到超快成像模擬結(jié)果，相應(yīng)的調(diào)制度隨拍頻頻率變化如圖3虛線，對(duì)應(yīng)Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}分別為6.3×2π Trad/s和11.5×2π Trad/s（對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)周期為159 fs和87 fs），這意味著基于克爾取樣方式的超快成像比基于倍頻取樣方式的超快成像具有更高的時(shí)間分辨能力．

光參量放大取樣方式的情況比前兩者更為復(fù)雜．比較式（2）、式（3）和式（6）可知，前兩者的開關(guān)函數(shù)僅與探測(cè)光場(chǎng)E_g (t)相關(guān)，而光參量放大還與OPA增益有關(guān)．圖3中的上、下、右和左三角點(diǎn)線 分 別 對(duì) 應(yīng) 于 脈 沖 峰 值 的 參 量 增 益 G=sinh² (Γ₀L )=10、100、1 000和10 000時(shí)的調(diào)制度變化．G略大于1（G=1意味著光參量過程沒有發(fā)生）的情況圖3中并未給出，其對(duì)應(yīng)于固定場(chǎng)近似下的小信號(hào)差頻，此時(shí)取樣效果將退化為與倍頻情況相同．由圖3可見，如果固定增益值G，調(diào)制度值隨Δω增大而下降；而對(duì)于給定的Δω，調(diào)制度值則隨G的增大而增大．當(dāng)G=10時(shí)，其調(diào)制度曲線介于倍頻和光克爾效應(yīng)之間，表明此時(shí)基于光參量放大取樣方式的超快成像時(shí)間分辨能力差于光克爾效應(yīng)取樣方式，但優(yōu)于倍頻方式；當(dāng)G=100時(shí)，調(diào)制度曲線已完全超過倍頻和光克爾方式，相應(yīng)的Δω_0.5=6.9×2π Trad/s（旋轉(zhuǎn)周期145 fs）， Δω_0.1=13.8×2π Trad/s（旋轉(zhuǎn)周期72. 5 fs）；若G=1 000， Δω_0.5=8.3×2π Trad/s， Δω_0.1=16.3×2π Trad/s．圖5為光參量放大取樣方式下，G=1 000時(shí)的超快成像數(shù)值模擬．非常明顯，即使Δω=24π Trad/s （子圖12），圖案仍清晰可辨；當(dāng)Δω=40π Trad/s時(shí)，圖案雖然動(dòng)態(tài)模糊，但環(huán)中的峰值仍隱約可辨．計(jì)算表明，當(dāng)G達(dá)10 000時(shí)，Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}分別高達(dá)9.7×2π Trad/s和18.7×2π Trad/s．

圖3 不同非線性取樣方式下超快成像調(diào)制度隨Δω的變化Fig. 3 (Color online) Modulation depth of ultrafast imaging changes with Δω when using the SH sampling (solid line), Kerr gating sampling (dashed line), and OPA sampling with gains of 10 (solid line with upwards triangle), 100 (solid line with downwards triangle), 1 000 (solid line with rightwards triangle) and 10 000 (solid line with leftwards triangle).

圖4 克爾開關(guān)取樣下不同Δω旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)的超快成像Fig. 4 (Color online) Kerr effect sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=0 Trad/s to Δω=20 Trad/s.

圖5 基于光參量放大（G=1 000）取樣的不同Δω旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)的超快成像Fig. 5 (Color online) OPA (G=1 000) sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=0 Trad/s to Δω=20 Trad/s.

由于開關(guān)函數(shù)特性不同，基于倍頻、光克爾效應(yīng)和光參量放大取樣方式對(duì)應(yīng)的超快成像時(shí)間分辨能力也不同．對(duì)于倍頻取樣方式，由于開關(guān)函數(shù)g(t)就是取樣脈沖E_g (t)，因此，相應(yīng)的超快成像曝光時(shí)間等于取樣脈沖時(shí)間寬度．若假設(shè)取樣脈沖為傅里葉變換受限脈沖，則可以根據(jù)高斯脈沖的時(shí)間帶寬積常數(shù)^[23]算得100 fs激光脈沖對(duì)應(yīng)的帶寬為Δω_BW=4ln2/τ_p≈4.4×2π Trad/s，該值正好與圖3給出的倍頻取樣方式下的Δω_{0. 5}值相同.

對(duì)于光克爾效應(yīng)取樣，開關(guān)函數(shù)是取樣脈沖電場(chǎng)模的平方．若取樣脈沖函數(shù)E_g (t)=exp(-2ln2t²/τ ²_p），則g ( t )=exp (-4ln2t ²/τ ²_p )，于是開關(guān)函數(shù)強(qiáng)度I _g=|g ( t )|²的半高全寬為τ _g =τ _p/2^0.5．因此，基于克爾效應(yīng)取樣時(shí)采用τ_p=100 fs取樣脈沖，其曝光時(shí)間為100/2^0.5≈71 fs，小于取樣激光脈沖時(shí)間寬度．可見，與倍頻取樣相比，采用同樣的取樣脈沖，光克爾效應(yīng)取樣的時(shí)間分辨能力比倍頻方法提高了2^{0. 5}倍. 由于光克爾效應(yīng)是一種三階非線性效應(yīng)，且克爾晶體前后需放置正交偏振器，因此，光克爾取樣效率很低，很少被應(yīng)用于超快成像取樣．

可見，同樣的取樣脈沖，采用不同取樣方式具有不同的實(shí)際曝光時(shí)間．在此提出等效曝光時(shí)間，用于統(tǒng)一描述不同非線性取樣方式下的實(shí)際曝光時(shí)間．對(duì)于給定的探測(cè)脈沖，隨著目標(biāo)信息變化頻率的增加，如果探測(cè)器接收到的超快成像調(diào)制度下降到起始值一半時(shí)對(duì)應(yīng)的變化頻率（在此為拍頻）為Δω_M，則相應(yīng)的等效曝光時(shí)間為τ_g=4ln2/Δω_M．在理想情況下，初始調(diào)制度為1，則Δω_M=Δω_{0. 5}．如果忽略群速度失配和高階色散等因素，等效曝光時(shí)間等于取樣開關(guān)函數(shù)強(qiáng)度I_g (t)=|g(t)|²的時(shí)間寬度（半高全寬）．如果考慮群速度失配和色散因素，則等效曝光時(shí)間需要數(shù)值求解耦合波方程得到．

基于上述定義可見，光參量放大取樣方式下的等效曝光時(shí)間τ_g與增益G相關(guān)．G略大于1對(duì)應(yīng)于固定場(chǎng)差頻過程，其時(shí)間分辨能力與倍頻取樣情況相當(dāng)．當(dāng)G>>1時(shí)，將式（8）代入式（6），對(duì)雙曲正弦函數(shù)做近似并忽略空間分布，可得歸一化開關(guān)函數(shù)強(qiáng)度為I_g (t)為

圖6（a）為I_g (t)隨增益G的變化情況，I_g (t)的半高全寬直接反映了τ_g的大?。?dāng)G=1.01、10. 00、100. 00、1 000. 00及10 000. 00時(shí)，τ_g分別為100、75、59、50及44 fs．G=1 000時(shí)，τ_g =50 fs，相應(yīng)的Δω_{0. 5}值已接近倍頻取樣方式下兩倍（圖3）．圖6（b）為τ_g隨G的變化曲線. 可見，τ_g隨G單調(diào)下降．一般光參量放大成像增益G設(shè)計(jì)在10～1 000比較合理，這時(shí)對(duì)應(yīng)τ_g為75～50 fs．當(dāng)G高于10 000時(shí)，不但實(shí)現(xiàn)困難，且由于高階非線性效應(yīng)或參量熒光等效應(yīng)的增強(qiáng)會(huì)對(duì)成像造成干擾，因此，這里不討論增益更大的情況．

圖6 光參量放大取樣方式（a）開關(guān)函數(shù)強(qiáng)度和（b）等效曝光時(shí)間隨增益G的變化Fig. 6 (Color online) (a) The gating function intensity and (b) equivalent exposure time changes with gain G.

本研究理論模擬基于取樣脈沖為τ_p=100 fs的高斯脈沖．當(dāng)脈沖寬度為幾十到幾百飛秒時(shí)，上述結(jié)論仍成立，只是相應(yīng)的τ_g將隨脈沖寬度τ_p成正比變化，與Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}成反比變化．當(dāng)脈沖寬度小于30 fs時(shí)，數(shù)值模擬就需要將相互作用時(shí)的相位失配效應(yīng)考慮進(jìn)來，這時(shí)式（1）的精確度不夠，需要直接求解三波耦合方程．

理論分析并數(shù)值模擬了基于倍頻、光克爾效應(yīng)及光參量放大等不同非線性效應(yīng)取樣方式的超快成像技術(shù)．在推導(dǎo)出相應(yīng)開關(guān)函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，提出等效曝光時(shí)間的概念，用于描述不同取樣方式下超快成像過程的實(shí)際曝光時(shí)間，并以超快旋轉(zhuǎn)光場(chǎng)為目標(biāo)物進(jìn)行數(shù)值模擬．結(jié)果表明，當(dāng)取樣脈沖寬度為100 fs時(shí)，如果采用基于光學(xué)倍頻取樣方式，實(shí)際曝光時(shí)間與取樣脈沖寬度相當(dāng)；如果基于光克爾效應(yīng)取樣，等效曝光時(shí)間為70 fs；而光參量放大取樣下的等效曝光時(shí)間不但與取樣脈寬有關(guān)，還與增益大小有關(guān)，增益越高，等效曝光時(shí)間越短，超快成像的時(shí)間分辨能力越高．在增益略大于1時(shí)，光參量放大過程變?yōu)楣潭▓?chǎng)近似下的差頻過程，成像的等效曝光時(shí)間與倍頻取樣方式相同；當(dāng)增益提高到10時(shí)，等效曝光時(shí)間為75 fs；當(dāng)增益進(jìn)一步提高到1 000時(shí)，等效曝光時(shí)間是取樣脈沖脈寬的一半，即50 fs．因此，克爾開關(guān)及光參量放大取樣方式均能實(shí)現(xiàn)有效曝光時(shí)間短于取樣脈沖寬度的時(shí)間超分辨成像．在這3種技術(shù)中，倍頻方式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，探測(cè)脈沖和取樣脈沖頻率相同，能夠消除群速度失配，但對(duì)取樣光能量具有一定要求，且等效曝光時(shí)間長(zhǎng)于另外兩種取樣技術(shù)．光克爾效應(yīng)取樣能夠?qū)崿F(xiàn)比取樣脈寬更小的等效曝光時(shí)間，但探測(cè)效率低，多用于無空間分辨的探測(cè)；光參量放大方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)弱探測(cè)光的放大和頻率轉(zhuǎn)換，同時(shí)也能實(shí)現(xiàn)時(shí)間超分辨成像．