數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的方法

一 、引言 

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不單純是數(shù)的計(jì)算與形的研究，其中貫串始終的是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.中學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識又蘊(yùn)載著數(shù)學(xué)思想方法，沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識，也沒有離開數(shù)學(xué)知識而孤立存在的數(shù)學(xué)思想方法.它們之間的這種辯證統(tǒng)一性就決定了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在注重知識傳授的同時(shí)，必須強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法,才能建立良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生思維能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)里所接觸到的一些思想方法中，數(shù)形結(jié)合的思想方法無疑是比較重要的一種.著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)、最古老的兩樣?xùn)|西.它們既分別發(fā)展著，同時(shí)又互相滲透、互相啟發(fā)，共同推動(dòng)著數(shù)學(xué)科學(xué)的向前發(fā)展.數(shù)與形的結(jié)合，一方面是通過數(shù)量關(guān)系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面是利用幾何圖形的直觀，揭示數(shù)量關(guān)系許多深刻的特性.數(shù)形結(jié)合的思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個(gè)基本方法，也是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.因此，這些數(shù)學(xué)思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，更應(yīng)認(rèn)真貫徹.深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提高我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

二、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容、特性及相關(guān)知識

數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合中的數(shù)，應(yīng)廣義地理解為解析式、函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)等；其中的形可以是點(diǎn)集或曲線等平面圖形，也可以是柱、錐、臺、球等空間圖形，進(jìn)而使數(shù)形結(jié)合的思想方法煥發(fā)生機(jī)和活力，應(yīng)用范圍拓廣和深化.

1．關(guān)于解方程中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

例1. 若關(guān)于的方程的兩根都在之間，求的取值范圍.

令，其圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解，由的圖象可知，要使二根都在之間，只需同時(shí)成立，解得，故

分析：此題關(guān)于解方程求變量k的范圍，其應(yīng)用數(shù)形結(jié)合給學(xué)生以明確的直觀感，使復(fù)雜的求此題過程簡單化，直接求出變量k的范圍.

2．關(guān)于解不等式中的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

 例2. 解不等式

常規(guī)解法：原不等式等價(jià)于

（Ｉ）或（II）

 解（Ｉ）得；解（II）得

 綜上可知，原不等式的解集為

    數(shù)形結(jié)合解法：令，則不等式的解就是使的圖象在的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo).

如下圖，不等式的解集為，而可由解得，故不等式的解集為

分析：本題由方程構(gòu)造曲線，再由確定的雙曲線與運(yùn)動(dòng)的直線相交情形來討論，轉(zhuǎn)化成拋物線在直線上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo)，展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合方法的解題規(guī)律與典型模型.

上面我們對此題分別進(jìn)行常規(guī)和數(shù)形結(jié)合這兩種解法來求值，通過這兩種方法的對比，從思維的基本成分看，以事物的具體形象或表象為構(gòu)件的思維是具體形象思維，有具體形象經(jīng)過抽象和概括，把原來的客觀事物轉(zhuǎn)化成圖形、模型等為構(gòu)件的思維是邏輯形象思維.題中的解析式與函數(shù)圖象間的關(guān)聯(lián)密切，經(jīng)過點(diǎn)撥，學(xué)生的思索易于共鳴，而憑借函數(shù)圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了形象思維化抽象為具體的優(yōu)越性，教師宜因勢利導(dǎo)，著意滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法.

3．關(guān)于求函數(shù)值域的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

    例3. 求函數(shù)的值域.

    解法一（代數(shù)法）：由得，

，解不等式得 ,函數(shù)的值域?yàn)?/p>

    解法二（幾何法）：的形式類似于斜率公式，表示過兩點(diǎn)的直線的斜率.

由于點(diǎn)在單位圓上（見下圖）  顯然，

設(shè)過的圓的切線方程為，則有，

解得，     即

      函數(shù)值域?yàn)?/p>

分析：關(guān)于函數(shù)中求函數(shù)值域的問題，上面我們分別用了代數(shù)法和幾何法來求其結(jié)果，代數(shù)法通過把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于含變量x和y 來求三角函數(shù)值來求得結(jié)果，而幾何法通過類似斜率公式把它轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的斜率來求其結(jié)果.并通過兩種解法的對比，我們可以輕而易舉看出結(jié)果的大致方向，更有助學(xué)生掌握題目的解題方向.

4.關(guān)于向量的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

向量的坐標(biāo)表示是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示以后，即可使向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，很多幾何問題的證明可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算，向量是數(shù)學(xué)中解決幾何問題的有效工具之一.中學(xué)課程中向量分為平面向量和空間向量兩部分內(nèi)容.平面向量的考查要求，其一是主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能.要求考生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運(yùn)算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算.其二是考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算.其三是和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合在一起，如可以和曲線、數(shù)列等基礎(chǔ)知識結(jié)合，考查邏輯推理和運(yùn)算能力等綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將幾何知識和代數(shù)知識有機(jī)地結(jié)合在一起，能為多角度的展開解題思路提供廣闊的空間.題目對基礎(chǔ)知識和技能的考查一般由淺入深，入手并不難，但要圓滿完成解答，則需要嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計(jì)算. 

例4．若復(fù)數(shù)z滿足|z+ｉ|+|z－ｉ| ＝2，

則|z+ｉ+1|的最小值是（   ）  

 A)1     B)-i    C)2     D)i 

對此題分析可知，由于|z+ｉ|和|z-ｉ|分別

表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)到ｉ和-ｉ的距離，

且有|z+ｉ|+|z-ｉ| ＝2，所以表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)的

集合是虛軸上點(diǎn)ｉ到-ｉ之間的線段（含端點(diǎn)）.

另外，|z+ｉ+1|=|z－(－1－ｉ)|為復(fù)數(shù)z在復(fù)平

面上的對應(yīng)點(diǎn)到－1－ｉ的距離，由圖4可以看到，

當(dāng)z=-ｉ時(shí)，|z+ｉ+1|取得最小值1，所以選A.

分析：此題的常規(guī)解法是根據(jù)已知條件，尋求變量x和y的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，按照求二次函數(shù)的最值的方法求解.這個(gè)解法雖有可遵循的操作程序，但對解題過程中出現(xiàn)的情況難以預(yù)料，對可能發(fā)生的疏漏不易察覺，且解程冗長.而用數(shù)形結(jié)合的方法，則通過圖形直接揭示出問題的本質(zhì)面貌，只要思考正確，形象清晰，往往很快就能看到問題的結(jié)果.

從以上例題中可以看出數(shù)與形有著本質(zhì)的聯(lián)系，形與數(shù)相比較，有著直觀上的優(yōu)勢.中學(xué)生相對于抽象思維，普遍更喜歡形象思維，對圖形的記憶也總強(qiáng)于對文字、數(shù)式的記憶.因此在教學(xué)中要促使學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題，解決問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 教師在講授有關(guān)的數(shù)學(xué)知識時(shí)，盡可能數(shù)形結(jié)合、形數(shù)對照，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容更易于理解和記憶.而在解決實(shí)際問題時(shí)，同樣應(yīng)教給學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，啟發(fā)他們學(xué)會(huì)對一些數(shù)量關(guān)系作出“形”的解釋，發(fā)掘其中“形”的因素,把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題討論，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究,以增加解決問題的有效途徑.

綜上所述，幾何方法具有直觀、形象的優(yōu)勢，代數(shù)方法的特點(diǎn)是解答過程嚴(yán)密、規(guī)范、思路清晰.華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想就能揚(yáng)這兩種方法之長；避呆板單調(diào)解法之短.在解決有關(guān)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想方法所表現(xiàn)出來的思路上的靈活，過程上的簡便；方法上的多樣化是一目了然的.它為我們提供了多條解決問題的通道，使靈活性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)在其中得到了更大限度的發(fā)揮.

數(shù)形結(jié)合法乃經(jīng)典數(shù)學(xué)方法之一，其源遠(yuǎn)流長，應(yīng)用廣泛.數(shù)形結(jié)合思想早已深深地滲透在初等數(shù)學(xué)知識體系中，早經(jīng)成為中學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)能力之 一.因此，作為中學(xué)生所應(yīng)掌握的一種重要思想方法，教師除了在課堂教學(xué)時(shí)注意形數(shù)結(jié)合的應(yīng)用外，還需有意識地對學(xué)生加強(qiáng)這一思想方法的灌輸和訓(xùn)練，以逐步提高他們的數(shù)學(xué)思維水平.

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