巧用圓的參數(shù)方程

圓的參數(shù)方程的應(yīng)用比較廣泛，它是解析幾何中十分重要的內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).本文將以三個(gè)具體的例子闡述參數(shù)方程的巧用.
一、求二元方程最值
【例1】已知點(diǎn)P（x，y）是圓x2+y2=2x上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求x+2y的取值范圍；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析：因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在圓x2+y2=2x上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)所給的式子，把圓的方程化為參數(shù)方程，然后用參數(shù)表示兩個(gè)式子，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性，解決相關(guān)問題.
解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+y2=1，故它的參數(shù)方程可設(shè)為x=cosθ+1，y=sinθ（θ是參數(shù)）.
（1）∵x+2y=cosθ+1+2sinθ=5sin(θ+φ)+1（其中tanφ=12），
∴1-5≤x+y≤1+5，
即x+2y的取值范圍是［1-5,1+5］.
（2）∵x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，
即a要大于或等于-(x+y)的最大值，
∵x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，
∴x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，
∴a≥2-1，即a的取值范圍是［2-1,+∞）.
評(píng)注：本題也可以根據(jù)所給式子的幾何意義解題，利用線性規(guī)劃解決，但比此法要麻煩，參數(shù)方程把待求式化為關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，求解十分方便，這正是參數(shù)方程的優(yōu)勢(shì)。