三角尺的“大作為”

 一、增強(qiáng)了教學(xué)的趣味性
教學(xué)中，如果教師用學(xué)生習(xí)以為常的三角尺“創(chuàng)造”出許多精巧的試題或問題，學(xué)生會(huì)有“老樹開新花”的感覺，會(huì)大大增強(qiáng)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)習(xí)興趣.
例1 將一直角三角尺與直尺如圖1所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1 = ∠2；（2）∠3 = ∠4；（3）∠2 + ∠4 = 90°；（4）∠4 + ∠5 = 180°.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
這道題目中，把直角三角尺的兩條直角邊作為兩條平行線（直尺的對(duì)邊）的截線，巧妙地將平行線的三條性質(zhì)全部運(yùn)用其中，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)很好的問題情景.同時(shí)，直角三角尺本身所具有的“直角”這一條件在此題中也發(fā)揮了一定的作用.
例2 一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小華將一副三角尺按不同的方式疊放，編制出了4道有關(guān)角度計(jì)算的問題，同學(xué)們興趣盎然.你能分別計(jì)算出下列各圖中∠α的度數(shù)嗎？
這道題目，通過一副三角尺構(gòu)造了四個(gè)幾何圖形，可以利用三角尺角度的特殊性，考查學(xué)生運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)的能力.值得說明的是，用一副三角尺還可以構(gòu)造許多的幾何圖形，設(shè)計(jì)很多的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生開展興趣活動(dòng)提供豐富的、有趣的素材，使得學(xué)生能夠順其自然地投入到研究性學(xué)習(xí)之中，產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考，并在研究和探索的過程中培養(yǎng)他們的動(dòng)手操作能力，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.
二、凸顯了學(xué)具的功能性
教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生開發(fā)三角尺的功能，發(fā)揮這個(gè)學(xué)具在幾何學(xué)習(xí)中的重要作用.在幾何作圖中，通過動(dòng)手操作，不僅可以培養(yǎng)他們的動(dòng)手能力，還可以引導(dǎo)他們生成新知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.
如在初學(xué)角的概念時(shí)，可讓學(xué)生用一副三角尺畫大于0°且小于180°的不同的角，比一比看誰畫的最多，學(xué)生積極性會(huì)很高，并最終通過動(dòng)手操作和思考，找到一般性的規(guī)律： 最小的角為15°，若按從小到大的順序排列將依次大15°，這樣共可以畫出11個(gè)符合條件的角.
再如，在學(xué)習(xí)平行線判定時(shí)，首先要讓學(xué)生了解用三角尺畫平行線的操作要領(lǐng)，掌握畫法，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生得出平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行.
隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用三角尺畫出一些特殊的三角形和多邊形，如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形等.同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生在作圖中進(jìn)行理性思維，明白作圖方法中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí).
三、加強(qiáng)了教學(xué)的直觀性
教學(xué)時(shí)，運(yùn)用三角尺在黑板上演示圖形變換的過程，可以使教學(xué)更加直觀、形象和生動(dòng)，也有利于學(xué)生形成運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，并在操作過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，積極進(jìn)行思考和探索，最終找到解決問題的途徑和辦法.
例3 如圖4，有一把直尺AB和一個(gè)直角三角尺如圖擺放，直角頂點(diǎn)C在AB上，∠E = 30°，∠DCA = ∠ECB，然后將三角尺繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么至少旋轉(zhuǎn) °，可以使DE∥AB.
例4 如圖5，將一個(gè)含有30°角的直角三角尺AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1OB1.若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 .
四、體現(xiàn)試題的簡(jiǎn)約性
由于一副三角尺均是特殊的三角形，其所包含的特殊角、邊以及邊角之間的特定關(guān)系，這些都為試題增加了隱含條件，從而可以簡(jiǎn)化試題內(nèi)容，使得試題更加簡(jiǎn)約.如下兩道例題就是最好的例證.
例5 如圖6，兩個(gè)含30°角的相同直角三角尺按圖中位置擺放，使兩條相等的直角邊AC，C1A1共線.
（1）圖中有多少對(duì)全等的三角形？請(qǐng)將它們寫出來；
（2）選擇其中的一對(duì)全等的三角形進(jìn)行說明.（△ABC ≌ △A1B1C1除外）
例6 （1）把兩個(gè)含有45°角的大小不同的直角三角尺如圖7放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F. 試說明：AF⊥BE.
（2）把兩個(gè)含有30°角的大小不同的直角三角尺如圖8放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F. 問：AF與BE是否垂直？并說明理由.
五、提升問題的綜合性
由于借助三角尺進(jìn)行圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變換，可以構(gòu)造出不同類型的幾何圖形，加之三角尺自身所隱含的條件，無形當(dāng)中會(huì)增加思維的難度，使得試題更具綜合性，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、空間想象力和思維能力.
例7 劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，使用了如圖9，10所示的三角尺. 其中圖 9 是含有30°角的直角三角尺，BC = 6 厘米， 圖 ② 是含有45°角的的直角三角尺，DE = 4厘米.圖11 是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將三角尺DEF的直角邊DE與三角尺ABC的斜邊AC重合在一起，并將三角尺DEF沿AC方向移動(dòng).在移動(dòng)過程中，D，E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）.
（1）在三角尺DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F，C兩點(diǎn)間的距離逐漸_________.（填“不變”、“變大”或“變小”）
（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當(dāng)三角尺DEF移動(dòng)至什么位置，即AD長為多少時(shí)，F(xiàn)，C的連線與AB平行？
問題②：當(dāng)三角尺DEF移動(dòng)至什么位置，即AD長為多少時(shí)，以線段AD，F(xiàn)C，BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？
問題③：在三角尺DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD = 15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程.
此題是一道操作類問題，綜合了圖形的變換、相似三角形、直角三角形及方程等數(shù)學(xué)知識(shí)，并且涉及了分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是一道難得的好題.研究這道題目時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，牢牢抓住“圖形變化中的不變性”這個(gè)關(guān)鍵.