高中數(shù)學中的“新定義”趨勢的探究-數(shù)學論文

新定義問題主要指學習新的數(shù)學概念,新的數(shù)學定理、公式和法則;學習新的數(shù)學方法。在這類問題中經(jīng)常出現(xiàn)過去沒有學習過的概念、定理、公式和方法。通過敘述有比較簡略,比較抽象,又較少說明性的語言,由于高考時間的限制,要求學生在短時間內(nèi)通過閱讀,對新知識加以理解和應(yīng)用。
要解決好“新定義”問題,首先要通過閱讀理解題目中每一個句子的含義,深入理解新的概念的本質(zhì)屬性,分清新的性質(zhì)、法則、公式、定理的條件和結(jié)論,理解掌握新方法。在這基礎(chǔ)上,才能有效解決相關(guān)問題。
三、實例解讀熱點問題——“新定義”題型
題型一“新定義——運算”
新定義運算問題這類問題要求大家理解題目所給出的新的運算形式,把這種運算轉(zhuǎn)化為常見的運算.即:“新定義、舊運算”的本質(zhì),去體會“遮遮掩掩似新人,揭去面紗是故人”的思想方法。
例題1:對于正實數(shù)定義一種運算,其規(guī)則是:當時;當時,根據(jù)這個規(guī)則,求不等式的整數(shù)解。
分析:該題目撥去面紗就是一個分段函數(shù),即,
解:,
當時,解得整數(shù)解為
當時,,解得整數(shù)解為
綜上,不等式的整數(shù)解為或。
例題2:對任意正整數(shù),定義的雙階乘,如下:
當為偶數(shù)時,
當為奇數(shù)時,
現(xiàn)有四個命題:①,②③的個位數(shù)字為0④的個位數(shù)字為5,其中正確命題序號是________________。
分析:類比階乘的概念,“新定義”雙階乘的概念,既考查對原有知識的掌握情況又考查對新知識的遷移能力。
解:①
②
③,,,,…,的個位數(shù)字為0
④
,④的個位數(shù)字為5
所以,正確的是①③④
題型二“新定義——概念”
例題3:對于集合和常數(shù),定義為集合相對的“余弦方差”。
求證:集合相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值。
分析:類比方差的概念,新定義“余弦方差”概念,抓住題的本質(zhì)即:三角問題化簡該式子為常值。
證明:
三角問題遇到平方和的情況,一般先進行降冪
例題4:對于函數(shù),若同時滿足以下條件:
①在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;
②存在區(qū)間,使在上的值域是,那么我們把函數(shù)叫做閉函數(shù)。
(1)求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;
(2)判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)?若是,說明理由,并找出區(qū)間;若不是,說明理由;3
(3)若是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。
分析:本題的命題意圖是考查學生的學習新知識的能力,要求學生在題目給出的兩個條件來理解、掌握、運用一個嶄新的概念“閉函數(shù)”。并要求學生立即將“閉函數(shù)”與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì),定義域、值域、單調(diào)性等結(jié)合起來,又通過幾個不同的側(cè)面進行提問,考查學生對新定義概念的本質(zhì)的理解能力。