湍流系統(tǒng)的能量最小多尺度模型研究進(jìn)展

作者：王利民郭舒宇向星付少童來源：《化工學(xué)報(bào)》日期：2022-08-27人氣：2583

過程工程中存在著不同尺度的湍流，其對(duì)物質(zhì)傳遞與反應(yīng)效率發(fā)揮著重要作用。自雷諾實(shí)驗(yàn)以來，湍流科學(xué)研究已有一個(gè)多世紀(jì)的歷史[1]，但其仍為經(jīng)典物理學(xué)中尚未解決的主要難題之一[2]。Reynolds將充分發(fā)展的湍流運(yùn)動(dòng)分解成時(shí)均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在對(duì)Navier-Stokes方程進(jìn)行雷諾分解時(shí)，產(chǎn)生了未知的雷諾應(yīng)力項(xiàng)，造成了雷諾時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程不封閉的根本性困難[3]。為了封閉雷諾時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程，需要對(duì)雷諾應(yīng)力項(xiàng)進(jìn)行模化，而模化的方式可以多種多樣，構(gòu)造了各種湍流模型。

當(dāng)前文獻(xiàn)報(bào)道的湍流模型已達(dá)數(shù)百種。普遍認(rèn)為，湍流模型的關(guān)鍵在于模型封閉的合理性。傳統(tǒng)的湍流模型可分為兩類[4]。第一類是渦黏法，假設(shè)湍流脈動(dòng)對(duì)平均流有耗散作用，Boussinesq假設(shè)下的雷諾應(yīng)力在數(shù)學(xué)上類似于牛頓流體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并與平均應(yīng)變率成正比。典型的渦黏模型主要有零方程模型[5]、一方程模型[6]和兩方程模型[7-9]。渦黏性模型中，與分子理論中的平均自由程類似，Prandtl率先提出了混合長度模型[10]，通過引入湍流特征長度來模化雷諾應(yīng)力，但該模型存在很多不足，在模型中特征長度的取值根據(jù)簡單工況的實(shí)驗(yàn)確定，在應(yīng)用到比較復(fù)雜工況時(shí)其適用性依然存疑；湍流場的尺度范圍很大，用單一長度尺度來描述雷諾應(yīng)力不合適。隨后Taylor的渦量輸運(yùn)理論、von Karman的相似性理論也通過假設(shè)雷諾應(yīng)力和時(shí)均速度梯度之間的關(guān)系來封閉雷諾時(shí)均（Reynolds-averaged Navier-Stokes, RANS）方程[11]。隨著湍流建模和模擬技術(shù)的發(fā)展，這些唯象湍流模型逐漸被更復(fù)雜的模型所取代。由于湍流過程中有序和無序共存的復(fù)雜性，目前還沒有一個(gè)公認(rèn)的普適湍流模型。另一類是雷諾應(yīng)力模型（Reynolds stress model, RSM）[12]或二階矩閉合模型，該模型考慮了雷諾應(yīng)力的各向異性和復(fù)雜的湍流相互作用，比渦黏模型更詳細(xì)、更通用。Chou[13]和Rotta[14] 在雷諾應(yīng)力模型做出了開創(chuàng)性工作，直接從雷諾應(yīng)力輸運(yùn)方程或其簡化代數(shù)方程計(jì)算Navier-Stokes方程中的雷諾應(yīng)力張量，從而摒棄了湍流黏性系數(shù)的概念。然而這種建模方法中雷諾應(yīng)力存在擴(kuò)散輸運(yùn)、湍流壓力-應(yīng)變相互作用，以及產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)等，仍存在封閉問題[15]。此外，由于雷諾應(yīng)力的計(jì)算需要另外求解六個(gè)輸運(yùn)方程，使得RSM的計(jì)算成本非常高。因此，與直接數(shù)值模擬（direct numerical simulation, DNS）[16]和大渦模擬（large eddy simulation, LES）[17]一樣，RSM產(chǎn)生的信息量遠(yuǎn)超工程中計(jì)算平均流動(dòng)的所需，不具備成本效益[18]。

各種層次的湍流模擬方法如圖1所示，除DNS外均需要構(gòu)建湍流模型。湍流模型是影響工程湍流模擬準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素之一，在計(jì)算流體力學(xué)（computational fluid dynamics, CFD）模擬中起著關(guān)鍵作用。當(dāng)前各種湍流模型形式千差萬別，但封閉雷諾時(shí)均方程的方式仍是經(jīng)驗(yàn)性的，缺乏對(duì)復(fù)雜流動(dòng)的各種相互作用的競爭中協(xié)調(diào)及控制機(jī)制的深入研究。而介科學(xué)理論致力于闡明復(fù)雜系統(tǒng)中各種控制機(jī)制的相互作用，本文基于介科學(xué)框架，以能量最小多尺度(energy-minimization multi-scale, EMMS)的思想為核心，介紹了湍流中介尺度行為的共性原理，包括湍流中的黏性控制機(jī)制與慣性控制機(jī)制，以及二者在流動(dòng)中的競爭中協(xié)調(diào)以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性條件?；谠撍枷霕?gòu)建了具備工程應(yīng)用價(jià)值的EMMS湍流模型，顯著改進(jìn)了RANS模擬預(yù)測(cè)的精度，在層湍轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)以及全球氣候仿真等具備重要應(yīng)用價(jià)值，為介科學(xué)理論作為復(fù)雜系統(tǒng)的普適理論奠定了基礎(chǔ)。

圖1

圖1 湍流模擬的通用多尺度框架

Fig.1 A generic multiscale framework for modelling turbulent flows

1 EMMS建模思路

20世紀(jì)80~90年代，李靜海等[19-21]從氣固流態(tài)化中的顆粒聚團(tuán)現(xiàn)象出發(fā)，認(rèn)為：氣體和顆粒都擁有自己獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，即氣體趨向于選擇阻力最小的途徑流動(dòng)，而顆?？偸潜M可能處于最小位能的位置，介尺度聚團(tuán)的形成源于氣體和顆粒的各自運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)在競爭中的協(xié)調(diào)。李靜海等原創(chuàng)性地提出了基于顆粒尺度、顆粒聚團(tuán)尺度和設(shè)備尺度的多尺度分析方法和介尺度聚團(tuán)結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的穩(wěn)定性條件，將該穩(wěn)定性條件與氣體、固體的守恒方程和團(tuán)聚物尺寸方程同時(shí)求解，從而得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立了具有普遍意義的EMMS模型[19-21]。EMMS模型成功實(shí)現(xiàn)了非均勻氣固系統(tǒng)的準(zhǔn)確模擬，顯著提升了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和精度[22-23]。邱小平等[24]耦合了EMMS曳力與簡化雙流體模型，實(shí)現(xiàn)了工業(yè)規(guī)模氣固反應(yīng)器快速模擬的潛力。陳愷成等[25]開展了基于EMMS的循環(huán)流化床流域研究，確定了快速床的操作邊界。佟穎等[26]基于雙分散顆粒EMMS曳力模型，模擬了兩種不同的雙分散鼓泡流化床，探討了模型的適用性。

EMMS原理成功推廣到其他復(fù)雜系統(tǒng)[27-28]。在氣液體系中，應(yīng)用EMMS模型能量分解的基本思路，Ge等[28-29]對(duì)氣液體系微觀和介觀能耗過程進(jìn)行了區(qū)分和定義，提出了氣液體系的穩(wěn)定性條件。在此基礎(chǔ)上，Yang等[30]假設(shè)鼓泡塔體系中存在兩種氣泡特征直徑，以反映體系內(nèi)的非均勻結(jié)構(gòu)，提出了雙氣泡(dual-bubble-size, DBS)模型，從理論上預(yù)測(cè)了鼓泡塔中的流型轉(zhuǎn)變，在結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi)，全局微尺度能耗最小值對(duì)應(yīng)的解會(huì)發(fā)生跳躍，從物理上解釋了流動(dòng)結(jié)構(gòu)的宏觀演化。Han等[31]根據(jù)介區(qū)域分析了主導(dǎo)機(jī)制，并基于介尺度框架研究了鼓泡塔中的流域轉(zhuǎn)變。陳衛(wèi)等[32]將流態(tài)化過程中鼓泡、湍動(dòng)和快速流化過程類比物質(zhì)的固、液和氣三態(tài)，嘗試基于EMMS原理構(gòu)建相變理論。馬永麗等[33]對(duì)氣液固流化床內(nèi)復(fù)雜三相流動(dòng)結(jié)構(gòu)的介尺度機(jī)理模型進(jìn)行了分析和總結(jié)。汪帆等[34]基于介尺度研究范式及理論，探討了利用EMMS模型對(duì)現(xiàn)有成核數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正和優(yōu)化的思路。

上述研究的非平衡復(fù)雜系統(tǒng)都遵循控制機(jī)制之間的競爭中協(xié)調(diào)，文獻(xiàn)中的大量模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證實(shí)了EMMS原理對(duì)所研究非平衡復(fù)雜系統(tǒng)的適用性[35-37]，表明了EMMS模型背后蘊(yùn)含的原理具有一定的普遍性。EMMS建模思路從理解復(fù)雜系統(tǒng)的多尺度結(jié)構(gòu)和不同機(jī)制之間的相互作用和控制機(jī)制開始，通過分析各控制機(jī)制的競爭中協(xié)調(diào)獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，在數(shù)學(xué)上可表述為多目標(biāo)變分問題。因此，通過相應(yīng)的穩(wěn)定性條件和復(fù)雜系統(tǒng)的封閉模型，可以實(shí)現(xiàn)不同尺度下動(dòng)力學(xué)方程的關(guān)聯(lián)[38-39]。經(jīng)過三十多年的努力，EMMS思路已經(jīng)成為解決復(fù)雜系統(tǒng)問題的一個(gè)非常有前途的工具，這一原創(chuàng)性學(xué)術(shù)思想形成了創(chuàng)新性的EMMS原理與介科學(xué)理論體系[40]。

2 湍流控制機(jī)制與穩(wěn)定性條件

雷諾實(shí)驗(yàn)通過臨界Reynolds數(shù)來區(qū)分流動(dòng)的層流和湍流狀態(tài)，率先開展了流動(dòng)穩(wěn)定性的研究。Heisenberg[41]將Orr-Sommerfeld方程用于分析平面Poiseuille流的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)在接近湍流起始流速的有界剪切流中會(huì)出現(xiàn)Tollmien-Schlichting波，該方法也被用于解決流動(dòng)穩(wěn)定性問題[42]。Lorenz[43]發(fā)現(xiàn)，流體確定性模型的所有非周期解均有界但存在不規(guī)則的波動(dòng)，這與控制方程非線性導(dǎo)致的無窮多序列分叉和擾動(dòng)有關(guān)。Helmholtz[44]提出了恒定外力作用下流體緩慢穩(wěn)定流動(dòng)的最小能量耗散率原理。Korteweg[45]發(fā)現(xiàn)層流狀態(tài)下流體的流動(dòng)分布使得黏性的能量損失最小。Reyleigh[46]將最小能量耗散率原理擴(kuò)展到許多其他流體流動(dòng)系統(tǒng)。根據(jù)非平衡熱力學(xué)理論，Bejan[47]提出了層流中最小熵產(chǎn)生原理，這與最小能量耗散率原理一致。

一般認(rèn)為，在層流中，系統(tǒng)完全由流體黏性決定，速度分布受黏性耗散率最小的條件控制。而在單相湍流中，黏性控制機(jī)制和慣性控制機(jī)制共同作用，比層流中黏性作用主導(dǎo)的情況要復(fù)雜很多，因此Helmholtz[44]提出的最小能量耗散率原理不再適用于湍流。

目前，基于各種最大化流動(dòng)耗散函數(shù)，提出了幾種變分準(zhǔn)則來預(yù)測(cè)單相湍流中的平均速度場。Malkus[48]提出了最大總黏性耗散率D的變分準(zhǔn)則，以預(yù)測(cè)湍流管流中的軸向速度分布。隨后，該準(zhǔn)則被修正為最大“效率”E=DDf/Dm（這里Dm是平均流的黏性耗散率，Df= D - Dm是脈動(dòng)的耗散率），由最大“效率”E預(yù)測(cè)的最佳速度場比最大總黏性耗散率D得出的結(jié)果更接近實(shí)際流動(dòng)[49]。Bertram[50]提出了一種新的最小湍動(dòng)能變分判據(jù)，并試圖闡明不同變分判據(jù)在不同約束條件下的聯(lián)系。自Malkus的最大總黏性耗散率D變分準(zhǔn)則出現(xiàn)以來，湍流系統(tǒng)中出現(xiàn)了各種變分原理，但均無法解釋為什么一些變分原理可以產(chǎn)生實(shí)際結(jié)果。此外，對(duì)于給定最大/最小化的特定流動(dòng)量缺乏明確的物理基礎(chǔ)。

由于單相湍流系統(tǒng)中存在黏性和慣性兩種不同的控制機(jī)制，變分原理不能僅用黏性控制機(jī)制的極值趨勢(shì)或慣性控制機(jī)制的極值趨勢(shì)來表示；相反，這兩種控制機(jī)制的競爭中協(xié)調(diào)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定起著重要作用。如果認(rèn)為單相湍流由許多湍流渦組成，且渦與周圍環(huán)境的相互作用類似于顆粒和氣體之間的相互作用，則湍流系統(tǒng)和氣固系統(tǒng)的耗散行為類似[27]。黏性和慣性控制機(jī)制都不能完全支配一個(gè)系統(tǒng)，因此它們不能完全實(shí)現(xiàn)各自的趨勢(shì)；相反，它們通過競爭中協(xié)調(diào)來共同實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定。Li等[27]發(fā)現(xiàn)了黏性控制機(jī)制和慣性控制機(jī)制之間的競爭中協(xié)調(diào)，類似于氣固系統(tǒng)中顆粒主導(dǎo)機(jī)制和氣體主導(dǎo)機(jī)制之間的競爭中協(xié)調(diào)，提出黏性耗散率Wv最小和總耗散率WT最大，即

m i n [\begin{array}{l} W_{v} \\ - W_{T} \end{array}]

(1)

利用關(guān)系式(1)作為穩(wěn)定性條件成功預(yù)測(cè)了圓管湍流的徑向速度分布。Wang等[28,51-52]發(fā)現(xiàn)，湍流中黏性力和慣性力分別反映了速度場在空間和時(shí)間上的非均勻性。慣性力和黏性力同時(shí)作用于流體微元，流體微元提供載體，黏性和慣性在流體微元內(nèi)競爭中協(xié)調(diào)，其中慣性機(jī)制和黏性機(jī)制均與耗散有關(guān)。將總能量耗散分解為平均剪切耗散和湍流脈動(dòng)耗散：

\begin{array}{l} W_{T} = μ [2 {(\frac{? \overset{ˉ}{u}}{? x})}^{2} + 2 {(\frac{? \overset{ˉ}{v}}{? y})}^{2} + {(\frac{? \overset{ˉ}{v}}{? x} + \frac{? \overset{ˉ}{u}}{? y})}^{2}] + \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? μ [2 \overset{ˉ}{{(\frac{? u^{'}}{? x})}^{2}} + 2 \overset{ˉ}{{(\frac{? v^{'}}{? y})}^{2}} + \overset{ˉ}{{(\frac{? v^{'}}{? x})}^{2}} + \overset{ˉ}{{(\frac{? u^{'}}{? y})}^{2}} + 2 \overset{ˉ}{\frac{? v^{'}}{? x} \frac{? u^{'}}{? y}}] \end{array}

(2)

式（2）右側(cè)第一項(xiàng)為平均剪切耗散，定義為Wv；第二項(xiàng)為湍流脈動(dòng)耗散，定義為Wte。假設(shè)Wv與完全層流中能量耗散的本質(zhì)相同，由黏性占優(yōu)，則根據(jù)最小黏性耗散原理，與時(shí)均速度場相關(guān)的平均剪切耗散Wv應(yīng)趨于最小。

當(dāng)流動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，流體微元受到的慣性力為：

f = - ρ \frac{d u}{d t} = - ρ \frac{d (\overset{ˉ}{u} + u^{'})}{d t} = - ρ (\frac{d \overset{ˉ}{u}}{d t} + \frac{d u^{'}}{d t}) \approx - ρ \frac{d u^{'}}{d t}

(3)

即表明流體的脈動(dòng)決定其慣性運(yùn)動(dòng)，湍流脈動(dòng)越劇烈則慣性作用越強(qiáng)。湍流慣性機(jī)制與湍流脈動(dòng)的耗散存在密切關(guān)聯(lián)。根據(jù)Li等[27]認(rèn)為總耗散率WT趨于最大，由于黏性作用使黏性平均剪切耗散率Wv趨于最小，所以湍流脈動(dòng)耗散Wte=WT $-$ Wv趨于最大，這樣可推導(dǎo)出如下關(guān)系：

\frac{W_{t e}}{W_{T}} \to m a x

(4)

建立合理湍流模型的關(guān)鍵在于如何更深刻地理解計(jì)算網(wǎng)格中的湍流結(jié)構(gòu)，而這與穩(wěn)定性條件密切相關(guān)。如果不考慮這種穩(wěn)定性條件，很難開發(fā)出更好的模型。EMMS湍流模型考慮穩(wěn)定性條件，利用式(4)進(jìn)行封閉湍流動(dòng)力學(xué)方程。

3 EMMS湍流模型

工程中的湍流主要表現(xiàn)為層流和湍流共存。然而傳統(tǒng)的湍流模型假設(shè)流體在計(jì)算網(wǎng)格中處于均勻和充分湍流狀態(tài)，從而忽略了流動(dòng)中的層流部分，導(dǎo)致工程中實(shí)際流動(dòng)的湍流模擬并不精確。湍流模擬中，面對(duì)計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)的非均勻性，通常采取的方法為平均化處理、通過濾波只解析大渦和解析所有尺度的渦結(jié)構(gòu)，而忽視了湍流中的介尺度渦團(tuán)及黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)的主導(dǎo)機(jī)制，因而難以同時(shí)兼顧模擬的準(zhǔn)確性和計(jì)算量。

3.1 EMMS湍流模型的建立

在由不同大小“旋渦”組成的單相湍流中，存在多尺度結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的相互作用[11]。湍流中渦的運(yùn)動(dòng)在空間尺度和時(shí)間尺度上是動(dòng)態(tài)耦合[53]，由于大渦并不穩(wěn)定，最終會(huì)分裂成許多小渦，伴隨著湍動(dòng)能由大渦向小渦傳遞。眾多小渦繼承了前一個(gè)旋渦的能量，經(jīng)歷同樣的過程分裂成更小的渦，再將能量向下傳遞。通過這種方式，能量從大的運(yùn)動(dòng)尺度一直傳遞到足夠小尺度。

微尺度：范圍從分子尺度到Kolmogorov尺度η，該尺度下黏性和慣性交替變化。當(dāng)黏性占主導(dǎo)，一組分子作為一個(gè)整體進(jìn)行相同的運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)慣性占主導(dǎo)時(shí)，考慮兩個(gè)旋渦之間的界面高速剪切作用。

介尺度：一定范圍的渦代表湍流的介尺度結(jié)構(gòu)。湍流慣性子區(qū)尺度(η ?l ? L)遠(yuǎn)大于Kolmogorov尺度，但遠(yuǎn)小于宏觀的流動(dòng)尺度。介尺度渦從大尺度渦的波動(dòng)中獲取動(dòng)能，并將其傳遞給更小的渦。介尺度渦可看作是將大尺度含能渦與小尺度耗散渦聯(lián)系起來的橋梁。

宏尺度：包含大尺度流體的流動(dòng)，L。大尺度流動(dòng)受邊界特定的幾何特征控制，因而是各向異性的。大多數(shù)大尺度波動(dòng)從平均流接收能量，并將其轉(zhuǎn)換為小尺度波動(dòng)。宏尺度包含了尺度范圍內(nèi)渦的大部分動(dòng)能。宏觀尺度渦的作用是從主流獲取能量以維持湍流。因此，宏尺度行為體現(xiàn)在與壁面和邊界效應(yīng)相關(guān)的全局波動(dòng)。

隨著EMMS模型和DBS模型在氣固和氣液兩種系統(tǒng)中的成功發(fā)展，EMMS建模思路擴(kuò)展到了單相湍流體系[52,54]，即EMMS湍流模型（圖2），其使用了穩(wěn)定條件來封閉湍流。具體來說，視流動(dòng)為由湍流流體相和非湍流流體相組成的兩相流問題，引入描述該兩相流系統(tǒng)的介尺度結(jié)構(gòu)參數(shù)，特別是湍流流體成分所占的體積分?jǐn)?shù)，使湍流有效黏性系數(shù)進(jìn)一步增強(qiáng)所含的湍流介尺度結(jié)構(gòu)信息。隨后，根據(jù)湍流渦級(jí)串理論，將湍流中包含的能量耗散分解為不同部分，然后進(jìn)行量化，與氣固系統(tǒng)EMMS模型的原理類似，通過慣性和黏性協(xié)調(diào)控制機(jī)制形成的湍流穩(wěn)定性條件封閉湍流模型，優(yōu)化出湍流的介尺度結(jié)構(gòu)參數(shù)，改進(jìn)湍流模式理論中的渦黏性系數(shù)。

圖2

圖2 湍流系統(tǒng)的介尺度框架[52]

Fig.2 A mesoscale framework for turbulence system[52]

3.1.1 流動(dòng)分相與對(duì)應(yīng)的約束方程

最新發(fā)展的雙渦EMMS湍流模型[55]借鑒兩相相互滲透的雙流體模型，假設(shè)在流動(dòng)中具有層流流體成分、大渦流體成分和小渦流體成分組分（圖3）。則該系統(tǒng)可通過下述結(jié)構(gòu)參數(shù)來描述：層流、大渦和小渦的體積分?jǐn)?shù)（fl，fL和fS）；大渦和小渦對(duì)應(yīng)的等效直徑（dL和dS）；層流、大渦和小渦的表觀速度（Ul，UL和US）。

圖3

圖3 雙渦EMMS湍流模型結(jié)構(gòu)示意圖[55]

Fig.3 Structure diagram of dual-eddy EMMS-based turbulence model[55]

當(dāng)流動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，渦團(tuán)所受的曳力和有效浮力相平衡，大、小渦團(tuán)的力平衡方程分別如下：

\frac{π}{6} d_{L}^{3} (ρ_{l} - ρ_{L}) g = C_{D, L} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(5)

\frac{π}{6} d_{S}^{3} (ρ_{l} - ρ_{S}) g = C_{D, S} \frac{π}{4} d_{S}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, S}^{2}

(6)

其中，g是重力加速度。大、小渦團(tuán)和周邊層流流體之間的滑移速度分別為：

u_{s, L} = \frac{U_{L}}{f_{L}} - \frac{U_{l}}{f_{l}}

(7)

u_{s, S} = \frac{U_{S}}{f_{S}} - \frac{U_{l}}{f_{l}}

(8)

本模型通過將渦團(tuán)類比于氣泡，從而得到其曳力系數(shù)。大渦的曳力系數(shù)計(jì)算公式如下：

\begin{array}{l} C_{D, L} = C_{D 0, L} (1 - f_{L} - f_{S})^{4} \\ C_{D 0, L} = \frac{4}{3} \frac{g d_{L}}{U_{T}^{2}} \frac{ρ_{l} - ρ_{L}}{ρ_{l}} \\ U_{T} = \frac{μ_{l}}{ρ_{l} d_{L}} M o^{- 0.194} (J - 0.857) \\ M o = \frac{g μ_{l}^{4} (ρ_{l} - ρ_{L})}{ρ_{l}^{2} σ^{3}} \\ J = \{\begin{matrix} 0.94 H^{0.757} & 2 < H \leq 59.3 \\ 3.42 H^{0.441} & H > 59.3 \end{matrix} \\ H = \frac{4}{3} E o M o^{- 0.149} {(\frac{μ_{l}}{0.0009})}^{- 0.14} \\ E o = \frac{d_{L} (ρ_{l} - ρ_{L}) g}{σ} \end{array}

(9)

小渦的曳力系數(shù)可以根據(jù)式（9）以此類推計(jì)算而得。

假設(shè)求解范圍內(nèi)的所有湍動(dòng)能k均由大渦貢獻(xiàn)，其湍流強(qiáng)度為終端湍流強(qiáng)度I0，則大渦的特征方程表示為：

{(\frac{2 k}{3 f_{L}})}^{0.5} / U_{L} = I_{0}

(10)

由耗散渦Reynolds數(shù)約為1可得：

\frac{0.5 U_{S} d_{S} ρ_{S}}{μ_{0}} = 1

(11)

此外，流體速度和相體積分?jǐn)?shù)的守恒方程分別為：

U = f_{S} U_{S} + f_{L} U_{L} + f_{l} U_{l}

(12)

f_{S} + f_{L} + f_{l} = 1

(13)

3.1.2 能耗分解

假設(shè)流體流動(dòng)處于穩(wěn)態(tài)，則總能量耗散率WT等于能量輸入率，可分解為四個(gè)部分：湍流渦團(tuán)與周邊流體表面互相振蕩而引起的能量耗散率Ws，大尺度渦團(tuán)破碎而產(chǎn)生的能量耗散率Wbk，耗散渦尺度的小渦能量耗散率WKolmogorov，以及發(fā)生在層流（非湍流）成分流體內(nèi)的分子黏性耗散Wv。根據(jù)上述描述得到方程：

W_{T} = W_{s} + W_{b k} + W_{K o l m o g o r o v} + W_{v}

(14)

W_{t e} = W_{s} + W_{b k} + W_{K o l m o g o r o v}

(15)

WT可近似為初始大渦的能量耗散率：

W_{T} = \frac{n_{L}}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} F_{D, e d d y} u_{s, L}

(16)

n_{L} = \frac{f_{L}}{\frac{π}{6} d_{L}^{3}}

(17)

F_{D, e d d y} = C_{D, e d d y} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(18)

Ws與湍流渦團(tuán)表面的劇烈振蕩而引起的阻力FD, surf有關(guān)：

W_{s} = \frac{n_{L}}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} F_{D, s u r f} u_{s, L}

(19)

F_{D, p a r t i c l e} = C_{D, p a r t i c l e} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(20)

C_{D, p a r t i c l e} = \{\begin{matrix} \frac{24}{R e_{L}} (1 + 0.15 R e_{L}^{0.687}) & R e_{L} \leq 1000 \\ 0.44 & R e_{L} > 1000 \end{matrix}

(21)

F_{D, s u r f} = F_{D, e d d y} - F_{D, p a r t i c l e}

(22)

Wbk可寫成如下形式：

W_{b k} = \int_{λ_{m i n}}^{d_{L}} \int_{0}^{0.5} \frac{1}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} ω_{L, λ} (d_{L}, λ) P_{\overset{?}{L}} (d_{L} | f_{B V, λ}) E_{D I S} d f_{B V} d λ

(23)

其中, $ω_{L, λ} (d_{L}, λ)$ 為抵達(dá)頻率； $P_{\overset{?}{L}} (d_{L} | f_{B V, λ})$ 為碰撞破碎的概率密度分布函數(shù)；dL為被撞擊的渦團(tuán)尺度；λ為撞擊的渦團(tuán)尺度； $E_{D I S}$ 為渦團(tuán)破碎時(shí)的黏性耗散。

WKolmogorov根據(jù)均勻各向同性湍流的耗散譜計(jì)算得出：

D (κ) = 2 α ν ε^{2 / 3} κ^{1 / 3} e x p [- \frac{3}{2} α {(κ η)}^{4 / 3}]

(24)

W_{K o l m o g o r o v} = (1 - f_{l}) \int_{\infty}^{0} D (κ) d κ

(25)

通過輸入U、k、σ、μl、ρl、ρL、ρS求解以上代數(shù)方程，結(jié)合式(4)即可優(yōu)化得到該工況下的層流體積分?jǐn)?shù)、層流速度、大渦體積分?jǐn)?shù)、大渦速度等一系列結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3.2 EMMS湍流模型與CFD耦合

雙渦EMMS湍流模型假設(shè)在一般湍流中有層流、大渦和小渦三部分共存，并相互滲透。在CFD求解RANS方程中，首先獲得計(jì)算網(wǎng)格中的流體速度U和湍動(dòng)能k，通過求解EMMS湍流模型即可獲得該網(wǎng)格單元下的結(jié)構(gòu)參數(shù)fL，fS，fl?；诖鬁u體積分?jǐn)?shù)fL對(duì)RANS模型中的湍流黏性系數(shù)進(jìn)行修正。以耦合RANS方程中的k-ω SST模型為例，湍流黏性系數(shù)μt被修正為：

μ_{t} = \frac{f^{*} a_{1} ρ k}{m a x (a_{1} ω, b_{1} F_{2} S)}

(26)

即將控制方程中的μt乘以由fL歸一化得到的湍流控制因子f *，同時(shí)，k方程中的湍動(dòng)能生成項(xiàng)也需要乘以f * 來抑制湍動(dòng)能在局部區(qū)域的生成?；贓MMS模型的計(jì)算結(jié)果，f * 已擬合為代數(shù)形式：

f^{*} = m a x (f_{1}, f_{2})

(27)

f_{1} = m a x (0, m i n (1,5 I (1 - \frac{1}{100 I (1 - e x p (- 10 I))}) + 0.6 + \frac{5 I}{1 + e x p (- 0.1 Y^{*} + 5)}))

(28)

f_{2} = 1 - e x p (- c \frac{y \sqrt[]{k} ρ}{μ_{0}})

(29)

其中， $Y^{*} = y \sqrt[]{k} ρ / μ_{0}$ ；I為湍流強(qiáng)度。每步僅需簡單的代數(shù)運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)將EMMS湍流模型應(yīng)用于RANS下的湍流方程中。相較于DNS或LES, 求解RANS方程的計(jì)算量較少，且耦合EMMS模型僅增加了極小的計(jì)算消耗，因此EMMS湍流模型具備大規(guī)模工程應(yīng)用的前景。

3.3 EMMS模型顯著改進(jìn)了預(yù)測(cè)精度

基于EMMS原理的湍流模型顯著提高了RANS在湍流建模和仿真中的精度[56]。例如，在頂蓋方腔流中，EMMS湍流模型可以成功捕捉到左下角和右下角的三次角渦，而標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型無法預(yù)測(cè)(圖4)。此外，EMMS湍流模型預(yù)測(cè)的流線相比于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型預(yù)測(cè)的流線更符合DNS結(jié)果[52,54]。

圖4

圖4 基于EMMS的湍流模型預(yù)測(cè)的Re=10000時(shí)頂蓋驅(qū)動(dòng)方腔流的流線圖與DNS和k-ε的流線比較[52]

Fig.4 Streamline patterns for lid-driven cavity flow at Re = 10000 predicted by the EMMS-based turbulence model in a comparison with those from DNS and k-ε model [52]

邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)在高速飛行器的設(shè)計(jì)中起著重要作用[57]。與CFD發(fā)展的其他領(lǐng)域相比，轉(zhuǎn)捩區(qū)的CFD預(yù)測(cè)仍然是一個(gè)難點(diǎn)。RANS方法用于預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩問題具有計(jì)算成本低的優(yōu)勢(shì)[58]。文獻(xiàn)[59-61]中報(bào)道了RANS下三種計(jì)算層流到湍流轉(zhuǎn)捩的方法：(1) 在實(shí)驗(yàn)確定的轉(zhuǎn)捩位置打開湍流模型或使用湍流黏度；(2) 利用低Reynolds數(shù)湍流模型；(3) 使用間歇的概念來混合從層流到湍流區(qū)域的流動(dòng)。這些方法大多缺乏真實(shí)的物理基礎(chǔ)，適用范圍相當(dāng)有限。

為了耦合CFD進(jìn)行計(jì)算，基于OpenFOAM進(jìn)行了二次開發(fā)，構(gòu)建EMMS湍流模型庫、不可壓縮湍流模型動(dòng)態(tài)庫和可壓縮湍流模型動(dòng)態(tài)庫?；陔p渦EMMS湍流模型優(yōu)化湍流體積分?jǐn)?shù)f，并與k–ω SST湍流模型耦合[9]，實(shí)現(xiàn)了平板及NACA0012翼型邊界層轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖5和圖6所示。算例計(jì)算網(wǎng)格與邊界條件如圖7和圖8所示。f * 由0逐漸增大到1表明流體微元由完全層流控制逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆牧骺刂?。圖9和圖10分別為平板和翼型邊界層的表面摩擦系數(shù)，Cf突增的點(diǎn)即為轉(zhuǎn)捩位置，與圖5和圖6中f * 突變的位置相對(duì)應(yīng)，且均與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[62-63]吻合較好，驗(yàn)證了雙渦EMMS湍流模型預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩問題的可行性。

圖5

圖5 平板邊界層轉(zhuǎn)捩算例的湍流控制因子f * 分布[55]

Fig.5 Turbulence control factor distribution for flat plate boundary transition case[55]

圖6

圖6 NACA0012翼型上表面轉(zhuǎn)捩點(diǎn)附近湍流控制因子f * 分布

Fig.6 Turbulence control factor distribution near transition point on the NACA0012 top-surface

圖7

圖7 T3A 算例計(jì)算網(wǎng)格與邊界條件

Fig.7 Computational mesh and boundary conditions for T3A case

圖8

圖8 NACA0012翼型算例計(jì)算網(wǎng)格

Fig.8 Computational mesh for NACA0012 airfoil case

圖9

圖9 雙渦EMMS湍流模型和k-ω SST湍流模型預(yù)測(cè)平板邊界層表面摩擦系數(shù)Cf及與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

Fig.9 Skin friction Cf predicted by two-eddy EMMS-based turbulence model and k-ω SST turbulence model in a comparison with experimental data on the flat plate boundary

圖10

圖10 雙渦EMMS湍流模型和k-ω SST湍流模型預(yù)測(cè)NACA0012翼型表面摩擦系數(shù)Cf[55]

Fig.10 Skin friction Cf predicted by two-eddy EMMS-based turbulence model and k-ω SST turbulence model in comparison with experimental data on the NACA0012 airfoil top-surface[55]

復(fù)雜的氣候模型由描述大氣、海洋、陸地表面和冰的數(shù)學(xué)方程組成[64]。氣象大氣和海洋模式涉及典型的工程湍流模擬，計(jì)算網(wǎng)格通常達(dá)到幾十公里量級(jí)，在粗網(wǎng)格里湍動(dòng)和非湍動(dòng)（即層流）區(qū)域共存，而傳統(tǒng)模式都是假設(shè)網(wǎng)格內(nèi)是均勻狀態(tài)，從而導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確。通過應(yīng)用EMMS湍流模型對(duì)全球海洋環(huán)流進(jìn)行了模擬，得到了初步結(jié)果（圖11）。湍流結(jié)構(gòu)只是網(wǎng)格內(nèi)非均勻性的一部分，未來的工作可以將介尺度理論內(nèi)涵擴(kuò)展到更一般的情況，如計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)除了湍流，還可以考慮云、植被生長、雨雪、地形高程等在粗網(wǎng)格內(nèi)的不均勻分布等，這些都屬于介尺度理論的研究范疇。基于介科學(xué)概念考慮計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)的非均勻性，避免平均化方法的均勻處理，將會(huì)對(duì)天氣預(yù)報(bào)和氣候模擬的計(jì)算精度有很大改進(jìn)。

圖11

圖11 全球海洋環(huán)流的EMMS模擬

Fig.11 EMMS modeling in ocean currents

3.4 EMMS湍流模型驗(yàn)證了介科學(xué)理論的普適性

介科學(xué)認(rèn)為系統(tǒng)的復(fù)雜性源于共存的兩種（或更多）主導(dǎo)機(jī)制之間競爭中協(xié)調(diào)[65]。不同機(jī)制的相對(duì)主導(dǎo)作用隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化。以兩種主導(dǎo)機(jī)制為例，系統(tǒng)將出現(xiàn)三個(gè)區(qū)域，即機(jī)制A主導(dǎo)、機(jī)制A和機(jī)制B之間競爭中協(xié)調(diào)以及機(jī)制B主導(dǎo)[66]。復(fù)雜性出現(xiàn)于機(jī)制A和機(jī)制B協(xié)調(diào)（共存）的介區(qū)域中。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于兩個(gè)極端區(qū)域之間的介區(qū)域時(shí)，不同共存主導(dǎo)機(jī)制之間競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致了介尺度的復(fù)雜性[67]。因此，介科學(xué)很好地闡述了這種復(fù)雜性，對(duì)介尺度和介區(qū)域而言具有重要意義。

基于雙渦EMMS湍流模型同樣計(jì)算出了Li等[40,66-67]提出的復(fù)雜系統(tǒng)中不同區(qū)域的行為。如圖12所示，隨著流速的增加，依次出現(xiàn)了完全黏性控制、黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)以及完全慣性控制三種區(qū)域，大渦等效直徑dL在中間位置出現(xiàn)了劇烈波動(dòng)。說明流動(dòng)的復(fù)雜性同樣出現(xiàn)在黏性控制機(jī)制與慣性控制機(jī)制競爭中協(xié)調(diào)（層流成分和湍流成分流體共存）的介區(qū)域。這表明，介科學(xué)的概念在湍流系統(tǒng)中得到進(jìn)一步證實(shí)，同時(shí)也為介科學(xué)理論作為復(fù)雜系統(tǒng)普適理論提供證據(jù)。

圖12

圖12 湍流系統(tǒng)的三種區(qū)域預(yù)測(cè)

Fig.12 Three-regime prediction identified in turbulence system

4 結(jié)論與展望

介科學(xué)聚焦于單元尺度和系統(tǒng)尺度之間存在的控制機(jī)制之間的競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)，并建立其穩(wěn)定性條件，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)介尺度結(jié)構(gòu)及其性能的定量描述[65]。在揭示競爭中協(xié)調(diào)的主導(dǎo)機(jī)制及其關(guān)系時(shí)，應(yīng)特別注意介尺度問題的層次特征，主導(dǎo)機(jī)制之間的競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致了不同尺度上的結(jié)構(gòu)差異和時(shí)空多尺度行為，每種主導(dǎo)機(jī)制自身的規(guī)律及其極值趨勢(shì)。

湍流一直被認(rèn)為是經(jīng)典物理中最復(fù)雜的問題之一。一個(gè)多世紀(jì)以來，吸引了眾多科學(xué)家的持續(xù)努力，但人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)還只是局部的，目前還沒有完全令人滿意的湍流理論。而在湍流模擬中，湍流模型對(duì)于模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，而當(dāng)前湍流模型大都是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式封閉湍流, 對(duì)物理模型的內(nèi)部機(jī)理缺乏進(jìn)一步探索，因而難以找到一種普適的湍流模型。介尺度湍流模型的發(fā)展將新興的介科學(xué)思想與CFD相結(jié)合，對(duì)模擬過程工程中的湍流問題和介尺度結(jié)構(gòu)具有理論和實(shí)際意義。EMMS建模思路成功地推廣到湍流系統(tǒng)，通過建立工程湍流非均勻結(jié)構(gòu)的物理模型，闡明其控制機(jī)制及其相互關(guān)系，解釋了介尺度行為——非均勻渦團(tuán)結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制及其對(duì)動(dòng)量傳遞過程的影響。目前基于介科學(xué)視角下的EMMS湍流模型主要有如下進(jìn)展：（1）在頂蓋方腔流中捕捉到標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型無法預(yù)測(cè)到的三次角渦，與DNS結(jié)果更加符合；（2）基于雙渦EMMS湍流模型成功預(yù)測(cè)了平板及NACA0012邊界層轉(zhuǎn)捩；（3）湍流系統(tǒng)中成功復(fù)現(xiàn)了介科學(xué)理論預(yù)測(cè)的完全黏性控制、黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)以及完全慣性控制三種區(qū)域，進(jìn)一步驗(yàn)證了介科學(xué)理論在復(fù)雜系統(tǒng)中的普適性。

介科學(xué)有助于解決非均勻湍流系統(tǒng)的定量模擬，EMMS原理改進(jìn)了湍流建模和模擬的精度，使其能夠解決工程實(shí)際問題。湍流系統(tǒng)的EMMS模型為介科學(xué)作為共性原理提供了證據(jù)。EMMS原理對(duì)介尺度問題具有普遍性，EMMS思路框架有助于交叉學(xué)科的融合發(fā)展，介科學(xué)的發(fā)展將極大提高不同學(xué)科解決復(fù)雜問題的能力。

關(guān)鍵字：優(yōu)秀論文

上一篇：三相結(jié)構(gòu)離子交換膜的構(gòu)筑及應(yīng)用研究
下一篇：基于介尺度穩(wěn)定性條件的多相流曳力與群體平衡模型

欄目分類

熱門排行

推薦信息

期刊知識(shí)