湍流系統(tǒng)的能量最小多尺度模型研究進展

作者：王利民郭舒宇向星付少童來源：《化工學(xué)報》日期：2022-08-27人氣：2453

過程工程中存在著不同尺度的湍流，其對物質(zhì)傳遞與反應(yīng)效率發(fā)揮著重要作用。自雷諾實驗以來，湍流科學(xué)研究已有一個多世紀的歷史[1]，但其仍為經(jīng)典物理學(xué)中尚未解決的主要難題之一[2]。Reynolds將充分發(fā)展的湍流運動分解成時均運動和脈動運動，在對Navier-Stokes方程進行雷諾分解時，產(chǎn)生了未知的雷諾應(yīng)力項，造成了雷諾時均運動方程不封閉的根本性困難[3]。為了封閉雷諾時均運動方程，需要對雷諾應(yīng)力項進行?；；姆绞娇梢远喾N多樣，構(gòu)造了各種湍流模型。

當(dāng)前文獻報道的湍流模型已達數(shù)百種。普遍認為，湍流模型的關(guān)鍵在于模型封閉的合理性。傳統(tǒng)的湍流模型可分為兩類[4]。第一類是渦黏法，假設(shè)湍流脈動對平均流有耗散作用，Boussinesq假設(shè)下的雷諾應(yīng)力在數(shù)學(xué)上類似于牛頓流體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并與平均應(yīng)變率成正比。典型的渦黏模型主要有零方程模型[5]、一方程模型[6]和兩方程模型[7-9]。渦黏性模型中，與分子理論中的平均自由程類似，Prandtl率先提出了混合長度模型[10]，通過引入湍流特征長度來?；字Z應(yīng)力，但該模型存在很多不足，在模型中特征長度的取值根據(jù)簡單工況的實驗確定，在應(yīng)用到比較復(fù)雜工況時其適用性依然存疑；湍流場的尺度范圍很大，用單一長度尺度來描述雷諾應(yīng)力不合適。隨后Taylor的渦量輸運理論、von Karman的相似性理論也通過假設(shè)雷諾應(yīng)力和時均速度梯度之間的關(guān)系來封閉雷諾時均（Reynolds-averaged Navier-Stokes, RANS）方程[11]。隨著湍流建模和模擬技術(shù)的發(fā)展，這些唯象湍流模型逐漸被更復(fù)雜的模型所取代。由于湍流過程中有序和無序共存的復(fù)雜性，目前還沒有一個公認的普適湍流模型。另一類是雷諾應(yīng)力模型（Reynolds stress model, RSM）[12]或二階矩閉合模型，該模型考慮了雷諾應(yīng)力的各向異性和復(fù)雜的湍流相互作用，比渦黏模型更詳細、更通用。Chou[13]和Rotta[14] 在雷諾應(yīng)力模型做出了開創(chuàng)性工作，直接從雷諾應(yīng)力輸運方程或其簡化代數(shù)方程計算Navier-Stokes方程中的雷諾應(yīng)力張量，從而摒棄了湍流黏性系數(shù)的概念。然而這種建模方法中雷諾應(yīng)力存在擴散輸運、湍流壓力-應(yīng)變相互作用，以及產(chǎn)生項和耗散項等，仍存在封閉問題[15]。此外，由于雷諾應(yīng)力的計算需要另外求解六個輸運方程，使得RSM的計算成本非常高。因此，與直接數(shù)值模擬（direct numerical simulation, DNS）[16]和大渦模擬（large eddy simulation, LES）[17]一樣，RSM產(chǎn)生的信息量遠超工程中計算平均流動的所需，不具備成本效益[18]。

各種層次的湍流模擬方法如圖1所示，除DNS外均需要構(gòu)建湍流模型。湍流模型是影響工程湍流模擬準確性的關(guān)鍵因素之一，在計算流體力學(xué)（computational fluid dynamics, CFD）模擬中起著關(guān)鍵作用。當(dāng)前各種湍流模型形式千差萬別，但封閉雷諾時均方程的方式仍是經(jīng)驗性的，缺乏對復(fù)雜流動的各種相互作用的競爭中協(xié)調(diào)及控制機制的深入研究。而介科學(xué)理論致力于闡明復(fù)雜系統(tǒng)中各種控制機制的相互作用，本文基于介科學(xué)框架，以能量最小多尺度(energy-minimization multi-scale, EMMS)的思想為核心，介紹了湍流中介尺度行為的共性原理，包括湍流中的黏性控制機制與慣性控制機制，以及二者在流動中的競爭中協(xié)調(diào)以實現(xiàn)穩(wěn)定性條件?；谠撍枷霕?gòu)建了具備工程應(yīng)用價值的EMMS湍流模型，顯著改進了RANS模擬預(yù)測的精度，在層湍轉(zhuǎn)捩預(yù)測以及全球氣候仿真等具備重要應(yīng)用價值，為介科學(xué)理論作為復(fù)雜系統(tǒng)的普適理論奠定了基礎(chǔ)。

圖1

圖1 湍流模擬的通用多尺度框架

Fig.1 A generic multiscale framework for modelling turbulent flows

1 EMMS建模思路

20世紀80~90年代，李靜海等[19-21]從氣固流態(tài)化中的顆粒聚團現(xiàn)象出發(fā)，認為：氣體和顆粒都擁有自己獨立的運動趨勢，即氣體趨向于選擇阻力最小的途徑流動，而顆粒總是盡可能處于最小位能的位置，介尺度聚團的形成源于氣體和顆粒的各自運動趨勢在競爭中的協(xié)調(diào)。李靜海等原創(chuàng)性地提出了基于顆粒尺度、顆粒聚團尺度和設(shè)備尺度的多尺度分析方法和介尺度聚團結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的穩(wěn)定性條件，將該穩(wěn)定性條件與氣體、固體的守恒方程和團聚物尺寸方程同時求解，從而得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立了具有普遍意義的EMMS模型[19-21]。EMMS模型成功實現(xiàn)了非均勻氣固系統(tǒng)的準確模擬，顯著提升了預(yù)測的準確性和精度[22-23]。邱小平等[24]耦合了EMMS曳力與簡化雙流體模型，實現(xiàn)了工業(yè)規(guī)模氣固反應(yīng)器快速模擬的潛力。陳愷成等[25]開展了基于EMMS的循環(huán)流化床流域研究，確定了快速床的操作邊界。佟穎等[26]基于雙分散顆粒EMMS曳力模型，模擬了兩種不同的雙分散鼓泡流化床，探討了模型的適用性。

EMMS原理成功推廣到其他復(fù)雜系統(tǒng)[27-28]。在氣液體系中，應(yīng)用EMMS模型能量分解的基本思路，Ge等[28-29]對氣液體系微觀和介觀能耗過程進行了區(qū)分和定義，提出了氣液體系的穩(wěn)定性條件。在此基礎(chǔ)上，Yang等[30]假設(shè)鼓泡塔體系中存在兩種氣泡特征直徑，以反映體系內(nèi)的非均勻結(jié)構(gòu)，提出了雙氣泡(dual-bubble-size, DBS)模型，從理論上預(yù)測了鼓泡塔中的流型轉(zhuǎn)變，在結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi)，全局微尺度能耗最小值對應(yīng)的解會發(fā)生跳躍，從物理上解釋了流動結(jié)構(gòu)的宏觀演化。Han等[31]根據(jù)介區(qū)域分析了主導(dǎo)機制，并基于介尺度框架研究了鼓泡塔中的流域轉(zhuǎn)變。陳衛(wèi)等[32]將流態(tài)化過程中鼓泡、湍動和快速流化過程類比物質(zhì)的固、液和氣三態(tài)，嘗試基于EMMS原理構(gòu)建相變理論。馬永麗等[33]對氣液固流化床內(nèi)復(fù)雜三相流動結(jié)構(gòu)的介尺度機理模型進行了分析和總結(jié)。汪帆等[34]基于介尺度研究范式及理論，探討了利用EMMS模型對現(xiàn)有成核數(shù)學(xué)模型進行修正和優(yōu)化的思路。

上述研究的非平衡復(fù)雜系統(tǒng)都遵循控制機制之間的競爭中協(xié)調(diào)，文獻中的大量模擬和實驗結(jié)果都證實了EMMS原理對所研究非平衡復(fù)雜系統(tǒng)的適用性[35-37]，表明了EMMS模型背后蘊含的原理具有一定的普遍性。EMMS建模思路從理解復(fù)雜系統(tǒng)的多尺度結(jié)構(gòu)和不同機制之間的相互作用和控制機制開始，通過分析各控制機制的競爭中協(xié)調(diào)獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，在數(shù)學(xué)上可表述為多目標變分問題。因此，通過相應(yīng)的穩(wěn)定性條件和復(fù)雜系統(tǒng)的封閉模型，可以實現(xiàn)不同尺度下動力學(xué)方程的關(guān)聯(lián)[38-39]。經(jīng)過三十多年的努力，EMMS思路已經(jīng)成為解決復(fù)雜系統(tǒng)問題的一個非常有前途的工具，這一原創(chuàng)性學(xué)術(shù)思想形成了創(chuàng)新性的EMMS原理與介科學(xué)理論體系[40]。

2 湍流控制機制與穩(wěn)定性條件

雷諾實驗通過臨界Reynolds數(shù)來區(qū)分流動的層流和湍流狀態(tài)，率先開展了流動穩(wěn)定性的研究。Heisenberg[41]將Orr-Sommerfeld方程用于分析平面Poiseuille流的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)在接近湍流起始流速的有界剪切流中會出現(xiàn)Tollmien-Schlichting波，該方法也被用于解決流動穩(wěn)定性問題[42]。Lorenz[43]發(fā)現(xiàn)，流體確定性模型的所有非周期解均有界但存在不規(guī)則的波動，這與控制方程非線性導(dǎo)致的無窮多序列分叉和擾動有關(guān)。Helmholtz[44]提出了恒定外力作用下流體緩慢穩(wěn)定流動的最小能量耗散率原理。Korteweg[45]發(fā)現(xiàn)層流狀態(tài)下流體的流動分布使得黏性的能量損失最小。Reyleigh[46]將最小能量耗散率原理擴展到許多其他流體流動系統(tǒng)。根據(jù)非平衡熱力學(xué)理論，Bejan[47]提出了層流中最小熵產(chǎn)生原理，這與最小能量耗散率原理一致。

一般認為，在層流中，系統(tǒng)完全由流體黏性決定，速度分布受黏性耗散率最小的條件控制。而在單相湍流中，黏性控制機制和慣性控制機制共同作用，比層流中黏性作用主導(dǎo)的情況要復(fù)雜很多，因此Helmholtz[44]提出的最小能量耗散率原理不再適用于湍流。

目前，基于各種最大化流動耗散函數(shù)，提出了幾種變分準則來預(yù)測單相湍流中的平均速度場。Malkus[48]提出了最大總黏性耗散率D的變分準則，以預(yù)測湍流管流中的軸向速度分布。隨后，該準則被修正為最大“效率”E=DDf/Dm（這里Dm是平均流的黏性耗散率，Df= D - Dm是脈動的耗散率），由最大“效率”E預(yù)測的最佳速度場比最大總黏性耗散率D得出的結(jié)果更接近實際流動[49]。Bertram[50]提出了一種新的最小湍動能變分判據(jù)，并試圖闡明不同變分判據(jù)在不同約束條件下的聯(lián)系。自Malkus的最大總黏性耗散率D變分準則出現(xiàn)以來，湍流系統(tǒng)中出現(xiàn)了各種變分原理，但均無法解釋為什么一些變分原理可以產(chǎn)生實際結(jié)果。此外，對于給定最大/最小化的特定流動量缺乏明確的物理基礎(chǔ)。

由于單相湍流系統(tǒng)中存在黏性和慣性兩種不同的控制機制，變分原理不能僅用黏性控制機制的極值趨勢或慣性控制機制的極值趨勢來表示；相反，這兩種控制機制的競爭中協(xié)調(diào)對系統(tǒng)穩(wěn)定起著重要作用。如果認為單相湍流由許多湍流渦組成，且渦與周圍環(huán)境的相互作用類似于顆粒和氣體之間的相互作用，則湍流系統(tǒng)和氣固系統(tǒng)的耗散行為類似[27]。黏性和慣性控制機制都不能完全支配一個系統(tǒng)，因此它們不能完全實現(xiàn)各自的趨勢；相反，它們通過競爭中協(xié)調(diào)來共同實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定。Li等[27]發(fā)現(xiàn)了黏性控制機制和慣性控制機制之間的競爭中協(xié)調(diào)，類似于氣固系統(tǒng)中顆粒主導(dǎo)機制和氣體主導(dǎo)機制之間的競爭中協(xié)調(diào)，提出黏性耗散率Wv最小和總耗散率WT最大，即

m i n [\begin{array}{l} W_{v} \\ - W_{T} \end{array}]

(1)

利用關(guān)系式(1)作為穩(wěn)定性條件成功預(yù)測了圓管湍流的徑向速度分布。Wang等[28,51-52]發(fā)現(xiàn)，湍流中黏性力和慣性力分別反映了速度場在空間和時間上的非均勻性。慣性力和黏性力同時作用于流體微元，流體微元提供載體，黏性和慣性在流體微元內(nèi)競爭中協(xié)調(diào)，其中慣性機制和黏性機制均與耗散有關(guān)。將總能量耗散分解為平均剪切耗散和湍流脈動耗散：

\begin{array}{l} W_{T} = μ [2 {(\frac{? \overset{ˉ}{u}}{? x})}^{2} + 2 {(\frac{? \overset{ˉ}{v}}{? y})}^{2} + {(\frac{? \overset{ˉ}{v}}{? x} + \frac{? \overset{ˉ}{u}}{? y})}^{2}] + \\ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? μ [2 \overset{ˉ}{{(\frac{? u^{'}}{? x})}^{2}} + 2 \overset{ˉ}{{(\frac{? v^{'}}{? y})}^{2}} + \overset{ˉ}{{(\frac{? v^{'}}{? x})}^{2}} + \overset{ˉ}{{(\frac{? u^{'}}{? y})}^{2}} + 2 \overset{ˉ}{\frac{? v^{'}}{? x} \frac{? u^{'}}{? y}}] \end{array}

(2)

式（2）右側(cè)第一項為平均剪切耗散，定義為Wv；第二項為湍流脈動耗散，定義為Wte。假設(shè)Wv與完全層流中能量耗散的本質(zhì)相同，由黏性占優(yōu)，則根據(jù)最小黏性耗散原理，與時均速度場相關(guān)的平均剪切耗散Wv應(yīng)趨于最小。

當(dāng)流動處于穩(wěn)定狀態(tài)時，流體微元受到的慣性力為：

f = - ρ \frac{d u}{d t} = - ρ \frac{d (\overset{ˉ}{u} + u^{'})}{d t} = - ρ (\frac{d \overset{ˉ}{u}}{d t} + \frac{d u^{'}}{d t}) \approx - ρ \frac{d u^{'}}{d t}

(3)

即表明流體的脈動決定其慣性運動，湍流脈動越劇烈則慣性作用越強。湍流慣性機制與湍流脈動的耗散存在密切關(guān)聯(lián)。根據(jù)Li等[27]認為總耗散率WT趨于最大，由于黏性作用使黏性平均剪切耗散率Wv趨于最小，所以湍流脈動耗散Wte=WT $-$ Wv趨于最大，這樣可推導(dǎo)出如下關(guān)系：

\frac{W_{t e}}{W_{T}} \to m a x

(4)

建立合理湍流模型的關(guān)鍵在于如何更深刻地理解計算網(wǎng)格中的湍流結(jié)構(gòu)，而這與穩(wěn)定性條件密切相關(guān)。如果不考慮這種穩(wěn)定性條件，很難開發(fā)出更好的模型。EMMS湍流模型考慮穩(wěn)定性條件，利用式(4)進行封閉湍流動力學(xué)方程。

3 EMMS湍流模型

工程中的湍流主要表現(xiàn)為層流和湍流共存。然而傳統(tǒng)的湍流模型假設(shè)流體在計算網(wǎng)格中處于均勻和充分湍流狀態(tài)，從而忽略了流動中的層流部分，導(dǎo)致工程中實際流動的湍流模擬并不精確。湍流模擬中，面對計算網(wǎng)格內(nèi)的非均勻性，通常采取的方法為平均化處理、通過濾波只解析大渦和解析所有尺度的渦結(jié)構(gòu)，而忽視了湍流中的介尺度渦團及黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)的主導(dǎo)機制，因而難以同時兼顧模擬的準確性和計算量。

3.1 EMMS湍流模型的建立

在由不同大小“旋渦”組成的單相湍流中，存在多尺度結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的相互作用[11]。湍流中渦的運動在空間尺度和時間尺度上是動態(tài)耦合[53]，由于大渦并不穩(wěn)定，最終會分裂成許多小渦，伴隨著湍動能由大渦向小渦傳遞。眾多小渦繼承了前一個旋渦的能量，經(jīng)歷同樣的過程分裂成更小的渦，再將能量向下傳遞。通過這種方式，能量從大的運動尺度一直傳遞到足夠小尺度。

微尺度：范圍從分子尺度到Kolmogorov尺度η，該尺度下黏性和慣性交替變化。當(dāng)黏性占主導(dǎo)，一組分子作為一個整體進行相同的運動；而當(dāng)慣性占主導(dǎo)時，考慮兩個旋渦之間的界面高速剪切作用。

介尺度：一定范圍的渦代表湍流的介尺度結(jié)構(gòu)。湍流慣性子區(qū)尺度(η ?l ? L)遠大于Kolmogorov尺度，但遠小于宏觀的流動尺度。介尺度渦從大尺度渦的波動中獲取動能，并將其傳遞給更小的渦。介尺度渦可看作是將大尺度含能渦與小尺度耗散渦聯(lián)系起來的橋梁。

宏尺度：包含大尺度流體的流動，L。大尺度流動受邊界特定的幾何特征控制，因而是各向異性的。大多數(shù)大尺度波動從平均流接收能量，并將其轉(zhuǎn)換為小尺度波動。宏尺度包含了尺度范圍內(nèi)渦的大部分動能。宏觀尺度渦的作用是從主流獲取能量以維持湍流。因此，宏尺度行為體現(xiàn)在與壁面和邊界效應(yīng)相關(guān)的全局波動。

隨著EMMS模型和DBS模型在氣固和氣液兩種系統(tǒng)中的成功發(fā)展，EMMS建模思路擴展到了單相湍流體系[52,54]，即EMMS湍流模型（圖2），其使用了穩(wěn)定條件來封閉湍流。具體來說，視流動為由湍流流體相和非湍流流體相組成的兩相流問題，引入描述該兩相流系統(tǒng)的介尺度結(jié)構(gòu)參數(shù)，特別是湍流流體成分所占的體積分數(shù)，使湍流有效黏性系數(shù)進一步增強所含的湍流介尺度結(jié)構(gòu)信息。隨后，根據(jù)湍流渦級串理論，將湍流中包含的能量耗散分解為不同部分，然后進行量化，與氣固系統(tǒng)EMMS模型的原理類似，通過慣性和黏性協(xié)調(diào)控制機制形成的湍流穩(wěn)定性條件封閉湍流模型，優(yōu)化出湍流的介尺度結(jié)構(gòu)參數(shù)，改進湍流模式理論中的渦黏性系數(shù)。

圖2

圖2 湍流系統(tǒng)的介尺度框架[52]

Fig.2 A mesoscale framework for turbulence system[52]

3.1.1 流動分相與對應(yīng)的約束方程

最新發(fā)展的雙渦EMMS湍流模型[55]借鑒兩相相互滲透的雙流體模型，假設(shè)在流動中具有層流流體成分、大渦流體成分和小渦流體成分組分（圖3）。則該系統(tǒng)可通過下述結(jié)構(gòu)參數(shù)來描述：層流、大渦和小渦的體積分數(shù)（fl，fL和fS）；大渦和小渦對應(yīng)的等效直徑（dL和dS）；層流、大渦和小渦的表觀速度（Ul，UL和US）。

圖3

圖3 雙渦EMMS湍流模型結(jié)構(gòu)示意圖[55]

Fig.3 Structure diagram of dual-eddy EMMS-based turbulence model[55]

當(dāng)流動處于穩(wěn)定狀態(tài)時，渦團所受的曳力和有效浮力相平衡，大、小渦團的力平衡方程分別如下：

\frac{π}{6} d_{L}^{3} (ρ_{l} - ρ_{L}) g = C_{D, L} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(5)

\frac{π}{6} d_{S}^{3} (ρ_{l} - ρ_{S}) g = C_{D, S} \frac{π}{4} d_{S}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, S}^{2}

(6)

其中，g是重力加速度。大、小渦團和周邊層流流體之間的滑移速度分別為：

u_{s, L} = \frac{U_{L}}{f_{L}} - \frac{U_{l}}{f_{l}}

(7)

u_{s, S} = \frac{U_{S}}{f_{S}} - \frac{U_{l}}{f_{l}}

(8)

本模型通過將渦團類比于氣泡，從而得到其曳力系數(shù)。大渦的曳力系數(shù)計算公式如下：

\begin{array}{l} C_{D, L} = C_{D 0, L} (1 - f_{L} - f_{S})^{4} \\ C_{D 0, L} = \frac{4}{3} \frac{g d_{L}}{U_{T}^{2}} \frac{ρ_{l} - ρ_{L}}{ρ_{l}} \\ U_{T} = \frac{μ_{l}}{ρ_{l} d_{L}} M o^{- 0.194} (J - 0.857) \\ M o = \frac{g μ_{l}^{4} (ρ_{l} - ρ_{L})}{ρ_{l}^{2} σ^{3}} \\ J = \{\begin{matrix} 0.94 H^{0.757} & 2 < H \leq 59.3 \\ 3.42 H^{0.441} & H > 59.3 \end{matrix} \\ H = \frac{4}{3} E o M o^{- 0.149} {(\frac{μ_{l}}{0.0009})}^{- 0.14} \\ E o = \frac{d_{L} (ρ_{l} - ρ_{L}) g}{σ} \end{array}

(9)

小渦的曳力系數(shù)可以根據(jù)式（9）以此類推計算而得。

假設(shè)求解范圍內(nèi)的所有湍動能k均由大渦貢獻，其湍流強度為終端湍流強度I0，則大渦的特征方程表示為：

{(\frac{2 k}{3 f_{L}})}^{0.5} / U_{L} = I_{0}

(10)

由耗散渦Reynolds數(shù)約為1可得：

\frac{0.5 U_{S} d_{S} ρ_{S}}{μ_{0}} = 1

(11)

此外，流體速度和相體積分數(shù)的守恒方程分別為：

U = f_{S} U_{S} + f_{L} U_{L} + f_{l} U_{l}

(12)

f_{S} + f_{L} + f_{l} = 1

(13)

3.1.2 能耗分解

假設(shè)流體流動處于穩(wěn)態(tài)，則總能量耗散率WT等于能量輸入率，可分解為四個部分：湍流渦團與周邊流體表面互相振蕩而引起的能量耗散率Ws，大尺度渦團破碎而產(chǎn)生的能量耗散率Wbk，耗散渦尺度的小渦能量耗散率WKolmogorov，以及發(fā)生在層流（非湍流）成分流體內(nèi)的分子黏性耗散Wv。根據(jù)上述描述得到方程：

W_{T} = W_{s} + W_{b k} + W_{K o l m o g o r o v} + W_{v}

(14)

W_{t e} = W_{s} + W_{b k} + W_{K o l m o g o r o v}

(15)

WT可近似為初始大渦的能量耗散率：

W_{T} = \frac{n_{L}}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} F_{D, e d d y} u_{s, L}

(16)

n_{L} = \frac{f_{L}}{\frac{π}{6} d_{L}^{3}}

(17)

F_{D, e d d y} = C_{D, e d d y} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(18)

Ws與湍流渦團表面的劇烈振蕩而引起的阻力FD, surf有關(guān)：

W_{s} = \frac{n_{L}}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} F_{D, s u r f} u_{s, L}

(19)

F_{D, p a r t i c l e} = C_{D, p a r t i c l e} \frac{π}{4} d_{L}^{2} \frac{ρ_{l}}{2} u_{s, L}^{2}

(20)

C_{D, p a r t i c l e} = \{\begin{matrix} \frac{24}{R e_{L}} (1 + 0.15 R e_{L}^{0.687}) & R e_{L} \leq 1000 \\ 0.44 & R e_{L} > 1000 \end{matrix}

(21)

F_{D, s u r f} = F_{D, e d d y} - F_{D, p a r t i c l e}

(22)

Wbk可寫成如下形式：

W_{b k} = \int_{λ_{m i n}}^{d_{L}} \int_{0}^{0.5} \frac{1}{f_{l} ρ_{l} + f_{L} ρ_{L} + f_{S} ρ_{S}} ω_{L, λ} (d_{L}, λ) P_{\overset{?}{L}} (d_{L} | f_{B V, λ}) E_{D I S} d f_{B V} d λ

(23)

其中, $ω_{L, λ} (d_{L}, λ)$ 為抵達頻率； $P_{\overset{?}{L}} (d_{L} | f_{B V, λ})$ 為碰撞破碎的概率密度分布函數(shù)；dL為被撞擊的渦團尺度；λ為撞擊的渦團尺度； $E_{D I S}$ 為渦團破碎時的黏性耗散。

WKolmogorov根據(jù)均勻各向同性湍流的耗散譜計算得出：

D (κ) = 2 α ν ε^{2 / 3} κ^{1 / 3} e x p [- \frac{3}{2} α {(κ η)}^{4 / 3}]

(24)

W_{K o l m o g o r o v} = (1 - f_{l}) \int_{\infty}^{0} D (κ) d κ

(25)

通過輸入U、k、σ、μl、ρl、ρL、ρS求解以上代數(shù)方程，結(jié)合式(4)即可優(yōu)化得到該工況下的層流體積分數(shù)、層流速度、大渦體積分數(shù)、大渦速度等一系列結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3.2 EMMS湍流模型與CFD耦合

雙渦EMMS湍流模型假設(shè)在一般湍流中有層流、大渦和小渦三部分共存，并相互滲透。在CFD求解RANS方程中，首先獲得計算網(wǎng)格中的流體速度U和湍動能k，通過求解EMMS湍流模型即可獲得該網(wǎng)格單元下的結(jié)構(gòu)參數(shù)fL，fS，fl。基于大渦體積分數(shù)fL對RANS模型中的湍流黏性系數(shù)進行修正。以耦合RANS方程中的k-ω SST模型為例，湍流黏性系數(shù)μt被修正為：

μ_{t} = \frac{f^{*} a_{1} ρ k}{m a x (a_{1} ω, b_{1} F_{2} S)}

(26)

即將控制方程中的μt乘以由fL歸一化得到的湍流控制因子f *，同時，k方程中的湍動能生成項也需要乘以f * 來抑制湍動能在局部區(qū)域的生成?；贓MMS模型的計算結(jié)果，f * 已擬合為代數(shù)形式：

f^{*} = m a x (f_{1}, f_{2})

(27)

f_{1} = m a x (0, m i n (1,5 I (1 - \frac{1}{100 I (1 - e x p (- 10 I))}) + 0.6 + \frac{5 I}{1 + e x p (- 0.1 Y^{*} + 5)}))

(28)

f_{2} = 1 - e x p (- c \frac{y \sqrt[]{k} ρ}{μ_{0}})

(29)

其中， $Y^{*} = y \sqrt[]{k} ρ / μ_{0}$ ；I為湍流強度。每步僅需簡單的代數(shù)運算即可實現(xiàn)將EMMS湍流模型應(yīng)用于RANS下的湍流方程中。相較于DNS或LES, 求解RANS方程的計算量較少，且耦合EMMS模型僅增加了極小的計算消耗，因此EMMS湍流模型具備大規(guī)模工程應(yīng)用的前景。

3.3 EMMS模型顯著改進了預(yù)測精度

基于EMMS原理的湍流模型顯著提高了RANS在湍流建模和仿真中的精度[56]。例如，在頂蓋方腔流中，EMMS湍流模型可以成功捕捉到左下角和右下角的三次角渦，而標準的k-ε模型無法預(yù)測(圖4)。此外，EMMS湍流模型預(yù)測的流線相比于標準k-ε模型預(yù)測的流線更符合DNS結(jié)果[52,54]。

圖4

圖4 基于EMMS的湍流模型預(yù)測的Re=10000時頂蓋驅(qū)動方腔流的流線圖與DNS和k-ε的流線比較[52]

Fig.4 Streamline patterns for lid-driven cavity flow at Re = 10000 predicted by the EMMS-based turbulence model in a comparison with those from DNS and k-ε model [52]

邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測在高速飛行器的設(shè)計中起著重要作用[57]。與CFD發(fā)展的其他領(lǐng)域相比，轉(zhuǎn)捩區(qū)的CFD預(yù)測仍然是一個難點。RANS方法用于預(yù)測轉(zhuǎn)捩問題具有計算成本低的優(yōu)勢[58]。文獻[59-61]中報道了RANS下三種計算層流到湍流轉(zhuǎn)捩的方法：(1) 在實驗確定的轉(zhuǎn)捩位置打開湍流模型或使用湍流黏度；(2) 利用低Reynolds數(shù)湍流模型；(3) 使用間歇的概念來混合從層流到湍流區(qū)域的流動。這些方法大多缺乏真實的物理基礎(chǔ)，適用范圍相當(dāng)有限。

為了耦合CFD進行計算，基于OpenFOAM進行了二次開發(fā)，構(gòu)建EMMS湍流模型庫、不可壓縮湍流模型動態(tài)庫和可壓縮湍流模型動態(tài)庫?；陔p渦EMMS湍流模型優(yōu)化湍流體積分數(shù)f，并與k–ω SST湍流模型耦合[9]，實現(xiàn)了平板及NACA0012翼型邊界層轉(zhuǎn)捩的預(yù)測，結(jié)果如圖5和圖6所示。算例計算網(wǎng)格與邊界條件如圖7和圖8所示。f * 由0逐漸增大到1表明流體微元由完全層流控制逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆牧骺刂?。圖9和圖10分別為平板和翼型邊界層的表面摩擦系數(shù)，Cf突增的點即為轉(zhuǎn)捩位置，與圖5和圖6中f * 突變的位置相對應(yīng)，且均與實驗數(shù)據(jù)[62-63]吻合較好，驗證了雙渦EMMS湍流模型預(yù)測轉(zhuǎn)捩問題的可行性。

圖5

圖5 平板邊界層轉(zhuǎn)捩算例的湍流控制因子f * 分布[55]

Fig.5 Turbulence control factor distribution for flat plate boundary transition case[55]

圖6

圖6 NACA0012翼型上表面轉(zhuǎn)捩點附近湍流控制因子f * 分布

Fig.6 Turbulence control factor distribution near transition point on the NACA0012 top-surface

圖7

圖7 T3A 算例計算網(wǎng)格與邊界條件

Fig.7 Computational mesh and boundary conditions for T3A case

圖8

圖8 NACA0012翼型算例計算網(wǎng)格

Fig.8 Computational mesh for NACA0012 airfoil case

圖9

圖9 雙渦EMMS湍流模型和k-ω SST湍流模型預(yù)測平板邊界層表面摩擦系數(shù)Cf及與實驗數(shù)據(jù)的比較

Fig.9 Skin friction Cf predicted by two-eddy EMMS-based turbulence model and k-ω SST turbulence model in a comparison with experimental data on the flat plate boundary

圖10

圖10 雙渦EMMS湍流模型和k-ω SST湍流模型預(yù)測NACA0012翼型表面摩擦系數(shù)Cf[55]

Fig.10 Skin friction Cf predicted by two-eddy EMMS-based turbulence model and k-ω SST turbulence model in comparison with experimental data on the NACA0012 airfoil top-surface[55]

復(fù)雜的氣候模型由描述大氣、海洋、陸地表面和冰的數(shù)學(xué)方程組成[64]。氣象大氣和海洋模式涉及典型的工程湍流模擬，計算網(wǎng)格通常達到幾十公里量級，在粗網(wǎng)格里湍動和非湍動（即層流）區(qū)域共存，而傳統(tǒng)模式都是假設(shè)網(wǎng)格內(nèi)是均勻狀態(tài)，從而導(dǎo)致模型預(yù)測不準確。通過應(yīng)用EMMS湍流模型對全球海洋環(huán)流進行了模擬，得到了初步結(jié)果（圖11）。湍流結(jié)構(gòu)只是網(wǎng)格內(nèi)非均勻性的一部分，未來的工作可以將介尺度理論內(nèi)涵擴展到更一般的情況，如計算網(wǎng)格內(nèi)除了湍流，還可以考慮云、植被生長、雨雪、地形高程等在粗網(wǎng)格內(nèi)的不均勻分布等，這些都屬于介尺度理論的研究范疇?；诮榭茖W(xué)概念考慮計算網(wǎng)格內(nèi)的非均勻性，避免平均化方法的均勻處理，將會對天氣預(yù)報和氣候模擬的計算精度有很大改進。

圖11

圖11 全球海洋環(huán)流的EMMS模擬

Fig.11 EMMS modeling in ocean currents

3.4 EMMS湍流模型驗證了介科學(xué)理論的普適性

介科學(xué)認為系統(tǒng)的復(fù)雜性源于共存的兩種（或更多）主導(dǎo)機制之間競爭中協(xié)調(diào)[65]。不同機制的相對主導(dǎo)作用隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化。以兩種主導(dǎo)機制為例，系統(tǒng)將出現(xiàn)三個區(qū)域，即機制A主導(dǎo)、機制A和機制B之間競爭中協(xié)調(diào)以及機制B主導(dǎo)[66]。復(fù)雜性出現(xiàn)于機制A和機制B協(xié)調(diào)（共存）的介區(qū)域中。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于兩個極端區(qū)域之間的介區(qū)域時，不同共存主導(dǎo)機制之間競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致了介尺度的復(fù)雜性[67]。因此，介科學(xué)很好地闡述了這種復(fù)雜性，對介尺度和介區(qū)域而言具有重要意義。

基于雙渦EMMS湍流模型同樣計算出了Li等[40,66-67]提出的復(fù)雜系統(tǒng)中不同區(qū)域的行為。如圖12所示，隨著流速的增加，依次出現(xiàn)了完全黏性控制、黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)以及完全慣性控制三種區(qū)域，大渦等效直徑dL在中間位置出現(xiàn)了劇烈波動。說明流動的復(fù)雜性同樣出現(xiàn)在黏性控制機制與慣性控制機制競爭中協(xié)調(diào)（層流成分和湍流成分流體共存）的介區(qū)域。這表明，介科學(xué)的概念在湍流系統(tǒng)中得到進一步證實，同時也為介科學(xué)理論作為復(fù)雜系統(tǒng)普適理論提供證據(jù)。

圖12

圖12 湍流系統(tǒng)的三種區(qū)域預(yù)測

Fig.12 Three-regime prediction identified in turbulence system

4 結(jié)論與展望

介科學(xué)聚焦于單元尺度和系統(tǒng)尺度之間存在的控制機制之間的競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)，并建立其穩(wěn)定性條件，從而實現(xiàn)對介尺度結(jié)構(gòu)及其性能的定量描述[65]。在揭示競爭中協(xié)調(diào)的主導(dǎo)機制及其關(guān)系時，應(yīng)特別注意介尺度問題的層次特征，主導(dǎo)機制之間的競爭中協(xié)調(diào)導(dǎo)致了不同尺度上的結(jié)構(gòu)差異和時空多尺度行為，每種主導(dǎo)機制自身的規(guī)律及其極值趨勢。

湍流一直被認為是經(jīng)典物理中最復(fù)雜的問題之一。一個多世紀以來，吸引了眾多科學(xué)家的持續(xù)努力，但人們對它的認識還只是局部的，目前還沒有完全令人滿意的湍流理論。而在湍流模擬中，湍流模型對于模擬結(jié)果的準確性至關(guān)重要，而當(dāng)前湍流模型大都是基于實驗數(shù)據(jù)或經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式封閉湍流, 對物理模型的內(nèi)部機理缺乏進一步探索，因而難以找到一種普適的湍流模型。介尺度湍流模型的發(fā)展將新興的介科學(xué)思想與CFD相結(jié)合，對模擬過程工程中的湍流問題和介尺度結(jié)構(gòu)具有理論和實際意義。EMMS建模思路成功地推廣到湍流系統(tǒng)，通過建立工程湍流非均勻結(jié)構(gòu)的物理模型，闡明其控制機制及其相互關(guān)系，解釋了介尺度行為——非均勻渦團結(jié)構(gòu)的形成機制及其對動量傳遞過程的影響。目前基于介科學(xué)視角下的EMMS湍流模型主要有如下進展：（1）在頂蓋方腔流中捕捉到標準的k-ε模型無法預(yù)測到的三次角渦，與DNS結(jié)果更加符合；（2）基于雙渦EMMS湍流模型成功預(yù)測了平板及NACA0012邊界層轉(zhuǎn)捩；（3）湍流系統(tǒng)中成功復(fù)現(xiàn)了介科學(xué)理論預(yù)測的完全黏性控制、黏性和慣性之間競爭中協(xié)調(diào)以及完全慣性控制三種區(qū)域，進一步驗證了介科學(xué)理論在復(fù)雜系統(tǒng)中的普適性。

介科學(xué)有助于解決非均勻湍流系統(tǒng)的定量模擬，EMMS原理改進了湍流建模和模擬的精度，使其能夠解決工程實際問題。湍流系統(tǒng)的EMMS模型為介科學(xué)作為共性原理提供了證據(jù)。EMMS原理對介尺度問題具有普遍性，EMMS思路框架有助于交叉學(xué)科的融合發(fā)展，介科學(xué)的發(fā)展將極大提高不同學(xué)科解決復(fù)雜問題的能力。

關(guān)鍵字：優(yōu)秀論文

上一篇：三相結(jié)構(gòu)離子交換膜的構(gòu)筑及應(yīng)用研究
下一篇：基于介尺度穩(wěn)定性條件的多相流曳力與群體平衡模型

欄目分類

熱門排行

推薦信息

期刊知識