基于貝葉斯理論的鋼筋再生混凝土梁受剪承載力預(yù)測模型

古典概率理論中,對連續(xù)型隨機變量θ與x,依乘法法則可導(dǎo)出.

式中:f(θ, x)稱為聯(lián)合概率密度; f(θ|x)與f(x|θ)為條件概率密度; f(θ)及f(x)稱為邊緣概率密度.對式(1)進行變形可得

上式即為貝葉斯概率理論的奠基公式—貝葉斯定理.在貝葉斯定理中,等式右側(cè)的f(θ)稱為隨機變量θ的先驗分布,f(x|θ)為似然函數(shù),等式左側(cè)的f(θ|x)則代表著在知道一定信息x過后變量θ的更新后驗分布.

真實觀察試驗中,先驗信息y可能在不同時刻被收集.為此,可進一步導(dǎo)出經(jīng)不同時刻信息序列{x(k)}修正過后,隨機變量θ的后驗分布f(θ|x(k))為

通過式(3)可知,貝葉斯理論通過對參數(shù)θ進行估計,進而更新先驗信息與修正先驗?zāi)Ｐ?

國內(nèi)外當(dāng)前已有較多學(xué)者提出了鋼筋普通混凝土梁的受剪承載力計算模型^[15].這些模型均可采納為再生混凝土無腹筋梁受剪承載力預(yù)測的貝葉斯修正先驗?zāi)Ｐ?后期經(jīng)過完善建立(即開展觀察試驗)試驗數(shù)據(jù)庫,并修正這些現(xiàn)存先驗?zāi)Ｐ?進而發(fā)展起來預(yù)測精度較高的后驗?zāi)Ｐ?這一過程通?？捎孟率鰯?shù)學(xué)公式表達.

V(x,Θ)=V_c(x)+γ(x,θ)+σε (4)

式中:x代表控制著普通混凝土無腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵變量向量; Θ=(θ,σ)為經(jīng)貝葉斯方法估計得到的模型控制變量,其中θ=[θ₁, θ₂, …, θ_p]^T代表著對x的修正系數(shù); σ為修正模型存在的誤差; V_c代表著現(xiàn)有無箍筋鋼筋普通混凝土梁受剪承載力計算公式; γ(x, θ)為偏差校正項; ε為隨機變量.需強調(diào)的是,為使貝葉斯概率模型適合于已有試驗結(jié)果,應(yīng)對式(4)的右側(cè)變量選取做一定限制:(a) V(x, Θ)的自變量應(yīng)是誤差σ; (b) 誤差σ必須與變量x相互獨立; (c) ε需服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

為簡化計算,實際操作中偏差校正項γ(x, θ)常用p個初等函數(shù)的線性組合近似表示^[14],即

式中:g_k(x)是由控制混凝土無腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵因素經(jīng)簡單組合得到的一些基本函數(shù).

由貝葉斯定理得知,后驗分布f(θ|x)(或f(Θ|x))的建立關(guān)鍵,在于確定先驗信息f(θ)(或f(Θ))及似然函數(shù)f(x|θ)(或f(x|Θ)).貝葉斯概率模型中一般假定變量(θ, x)的無信息先驗分布服從如下均勻分布^[14].

f(θ)∝1, θ∈φ (6)

f(x)=1/x, x>0 (7)

則似然函數(shù)f(x|θ)可表達為^[14]

式中:φ(·)為正態(tài)分布函數(shù); ψ(·)為正態(tài)分布的概率密度函數(shù); V_i為抗剪承載力試驗值; V_c(x_i)為抗剪承載力模型預(yù)測值.

為使計算值與試驗值偏差較小,應(yīng)剔除對整體預(yù)測結(jié)果影響不顯著的g_k(x).由公式(4)和(5)可知

V-V_c(x)=γ(x,θ)+σε=θ₁g₁(x)+θ₂g₂(x)+…+θ_kg_k(x)+σε (9)

令W=V-V_d,可得

W=g(x)θ+σε (10)

式中:

式(11)～(15)中:n為樣本數(shù).

由最小二乘法^[14]可知,θ'=(g(x)^Tg(x))^-1g(x)^TW,形參數(shù)v=n-p,誤差S²_n=[W-g(x)θ']^T(W-g(x)θ').整合式(8)和(9),可得似然函數(shù)為

由公式(6)和(7)又可知

將式(16)和(17)代入貝葉斯定理,可得

對等式兩側(cè)θ同時積分,可得到標(biāo)準(zhǔn)差σ的后驗邊緣分布^[14]為

方差σ²的后驗邊緣分布密度函數(shù)為

在概率論中,逆Gamma分布的定義為^[14]

對比式(20)和式(21),可知σ²后驗分布為逆Gamma分布,即σ²～IG(v/2,S²_n/2),于是有

由此,可通過分析方差σ²的變化趨勢來判斷修正項對再生混凝土無腹筋梁抗剪承載力的決定程度,進而剔除對整體預(yù)測結(jié)果影響不顯著的g_k(x),達到參數(shù)剔除目的.

當(dāng)前,已有一些學(xué)者意識到了鋼筋再生混凝土梁在剪力作用時受荷機理可能發(fā)生了變化,為此開展了一系列試驗探究^[15].本文作者在此整理匯編這些寶貴試驗,并初步形成了一個再生混凝土無腹筋梁受剪承載力試驗數(shù)據(jù)庫.相關(guān)信息見表1.

表1 再生混凝土無腹筋抗剪試驗數(shù)據(jù)庫匯總
Tab.1 Test database for steel bar reinforced RAC beams without stirrups under shear loading

從表1中容易看出,各試驗梁的參數(shù)基本涵蓋以下信息:混凝土圓柱體抗壓強度(f_c); 粗骨料最大粒徑(s_max); 再生骨料取代率(r); 梁高(h); 剪跨比(a/d); 縱筋配筋率(ρ_s); 縱筋抗拉強度(f_y)及梁抗剪強度(v_u=V_u/bd, 其中V_u、b和d分別為梁極限抗剪承載力、截面寬度和有效高度).需特別指出的是,表1數(shù)據(jù)庫形成過程中采用了如下篩選原則:

(1)所有梁在彎曲荷載作用時,必須表現(xiàn)出十分明顯的剪切破壞特征,梁受荷方式必須為三點或四點集中加載.與此同時,梁剪跨比需小于5,因為文獻[37]的研究結(jié)果曾表明剪跨比太大的梁常發(fā)生彎曲破壞;

(2)澆筑所用混凝土必須完整給定水灰比、再生骨料取代率及粗骨料粒徑等信息;

(3)鋼筋再生混凝土梁在制作過程僅使用了再生粗骨料,細骨料仍為天然砂;

(4)完整給定了混凝土和縱筋等的強度信息.當(dāng)澆筑或試驗條件不滿足上述要求時,梁會被人為剔除.

經(jīng)篩選后,表1最終包含了206根再生混凝土無腹筋梁.所有梁的抗壓強度、剪跨比及縱筋配筋率均值分別為32.7 MPa、2.71和1.81%,均在工程運用正常范圍內(nèi).

如前文所述,目前大部分研究在預(yù)估再生混凝土無腹筋梁抗剪強度時,一般沿襲套用傳統(tǒng)鋼筋混凝土梁的半經(jīng)驗半理論公式.在這些經(jīng)典理論中,一般并不獨立剝離壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷栓作用的抗剪貢獻.以歐洲混凝土模式規(guī)范為例,其無箍筋受彎構(gòu)件抗剪強度公式源于簡化修正壓力場理論^[37],即

式中:考慮了參數(shù)β影響的粗骨料顆粒尺寸、截面高度及加載剪跨比等因素對梁抗剪承載力的影響.

表2列舉了本文收集的8個主流無腹筋受彎構(gòu)件抗剪強度預(yù)測公式.結(jié)合表1的試驗數(shù)據(jù)庫,可計算得到各式在預(yù)測鋼筋再生混凝土梁抗剪強度時的精度.此處采用均方根誤差RMSE和置信指數(shù)CI作為誤差評判標(biāo)準(zhǔn).

式(24)～(25)中:n為試驗樣本數(shù); T為試驗實測值; C為模型計算值; CI較傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)R²更適合作為誤差評判指標(biāo)的原因是其對預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果之間差異更敏感^[14].CI的取值范圍一般為(-∞, 1),當(dāng)其值接近1時,表明模型預(yù)測準(zhǔn)確度更高.

表2最后兩列展示了運用上述8個公式預(yù)測再生混凝土無腹筋梁抗剪強度的計算結(jié)果.結(jié)合各模型相互之間比較可發(fā)現(xiàn):(1)現(xiàn)有的鋼筋混凝土梁抗剪強度公式并未考慮壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷栓作用四方面貢獻,模型都具有一定的局限性;(2)總體來講,學(xué)者Zsutty、Zhang及ACI318-2014規(guī)范所建議的抗剪強度計算式具有較高預(yù)測精度,其余模型的RMSE值一般偏大,CI指標(biāo)也偏離1.0較遠.

基于上述計算結(jié)果,并考慮到學(xué)者Bentz^[37]在預(yù)測普通混凝土無腹筋梁受剪承載力時曾指出Zsutty模型擁有較高精度、學(xué)者Bazant^[45]報道ACI模型雖然基于經(jīng)驗回歸但能較好描述剪跨比和尺寸效應(yīng)等重要因素作用,本文在此選定Zsutty及ACI318-2014公式為貝葉斯修正的先驗?zāi)Ｐ?Zhang所建議公式精度較ACI318-2014稍高,但形式較為復(fù)雜).

從表2所列公式容易發(fā)現(xiàn),以往學(xué)者普遍認為參數(shù)f_c、s_max、a/d、ρ_s及h顯著影響著無箍筋鋼筋混凝土梁的抗剪承載能力.基于此事實,并結(jié)合再生骨料特性,本文在此選取g₁(x)=ln(e)為修正常數(shù)項,g₂(x)～g₈(x)分別為ln(e^r)、ln(f_c)、ln(s_max)、ln(a/d)、ln(d)、ln(1+ρ_sf_y)和ln(f_y/f_c),來保證貝葉斯概率模型的可靠性及全面性.

由式(4)和(5)可得如下再生混凝土無腹筋梁抗剪承載力計算式(注:為簡化最終計算模型的數(shù)學(xué)形式,對v和v_d進行了對數(shù)化處理),即

結(jié)合前述假定g_k(x)函數(shù),可利用貝葉斯定理對再生混凝土無腹筋梁抗剪承載能力先驗?zāi)Ｐ瓦M行修正,計算結(jié)果列于表3.由該表可知,g₂(x)項的變異系數(shù)最大,而g₁(y)項的變異系數(shù)最小.

表2 再生混凝土無腹筋梁抗剪強度預(yù)測模型歸納
Tab.2 Calculation models for predicting shear strength of steel bar reinforced RAC beams without stirrups

表3 gk(x)計算結(jié)果的統(tǒng)計
Tab.3 Statistics for the calculation results of gk(x)

如前所述,分別選定學(xué)者Zsutty及ACI318-2014規(guī)范所建議公式作為式(26)的先驗?zāi)Ｐ蚔_c,代入g_k(x)后,一般可通過分析方差σ²的變化趨勢,來剔除對整體預(yù)測精度影響不顯著的g_k(x)及其對應(yīng)的θ_k:當(dāng)σ²變化微小時,說明該g_k(x)及其對應(yīng)的θ_k對整體預(yù)測影響不顯著,應(yīng)予以剔除,并重復(fù)上述步驟; 當(dāng)σ²變化明顯時,說明該g_k(x)及對應(yīng)的θ_k對整體預(yù)測影響顯著,應(yīng)停止參數(shù)剔除過程.

表4 參數(shù)剔除過程
Tab.4 Parameter removal process

表4詳細展示了以Zsutty模型和ACI318-2014規(guī)范為先驗?zāi)Ｐ汀₁(x)～g₈(x)為預(yù)估控制變量的貝葉斯修正計算全過程.通過系列參數(shù)剔除后,可最終得到如下再生混凝土無腹筋梁的抗剪強度計算后驗計算式,即修正的Zsutty模型及ACI318-2014規(guī)范模型為

從上述兩式可發(fā)現(xiàn),經(jīng)貝葉斯統(tǒng)計推斷過后,所得預(yù)測公式仍不顯示包含粗骨料取代率,這說明造成本文收集的再生混凝土無腹筋梁抗剪強度預(yù)測偏差較大的主要原因是傳統(tǒng)的鋼筋再生骨料混凝土梁的抗剪計算模型并未被準(zhǔn)確建立.