基于貝葉斯理論的鋼筋再生混凝土梁受剪承載力預(yù)測(cè)模型

古典概率理論中,對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量θ與x,依乘法法則可導(dǎo)出.

式中:f(θ, x)稱(chēng)為聯(lián)合概率密度; f(θ|x)與f(x|θ)為條件概率密度; f(θ)及f(x)稱(chēng)為邊緣概率密度.對(duì)式(1)進(jìn)行變形可得

上式即為貝葉斯概率理論的奠基公式—貝葉斯定理.在貝葉斯定理中,等式右側(cè)的f(θ)稱(chēng)為隨機(jī)變量θ的先驗(yàn)分布,f(x|θ)為似然函數(shù),等式左側(cè)的f(θ|x)則代表著在知道一定信息x過(guò)后變量θ的更新后驗(yàn)分布.

真實(shí)觀察試驗(yàn)中,先驗(yàn)信息y可能在不同時(shí)刻被收集.為此,可進(jìn)一步導(dǎo)出經(jīng)不同時(shí)刻信息序列{x(k)}修正過(guò)后,隨機(jī)變量θ的后驗(yàn)分布f(θ|x(k))為

通過(guò)式(3)可知,貝葉斯理論通過(guò)對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而更新先驗(yàn)信息與修正先驗(yàn)?zāi)Ｐ?

國(guó)內(nèi)外當(dāng)前已有較多學(xué)者提出了鋼筋普通混凝土梁的受剪承載力計(jì)算模型^[15].這些模型均可采納為再生混凝土無(wú)腹筋梁受剪承載力預(yù)測(cè)的貝葉斯修正先驗(yàn)?zāi)Ｐ?后期經(jīng)過(guò)完善建立(即開(kāi)展觀察試驗(yàn))試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù),并修正這些現(xiàn)存先驗(yàn)?zāi)Ｐ?進(jìn)而發(fā)展起來(lái)預(yù)測(cè)精度較高的后驗(yàn)?zāi)Ｐ?這一過(guò)程通常可用下述數(shù)學(xué)公式表達(dá).

V(x,Θ)=V_c(x)+γ(x,θ)+σε (4)

式中:x代表控制著普通混凝土無(wú)腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵變量向量; Θ=(θ,σ)為經(jīng)貝葉斯方法估計(jì)得到的模型控制變量,其中θ=[θ₁, θ₂, …, θ_p]^T代表著對(duì)x的修正系數(shù); σ為修正模型存在的誤差; V_c代表著現(xiàn)有無(wú)箍筋鋼筋普通混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式; γ(x, θ)為偏差校正項(xiàng); ε為隨機(jī)變量.需強(qiáng)調(diào)的是,為使貝葉斯概率模型適合于已有試驗(yàn)結(jié)果,應(yīng)對(duì)式(4)的右側(cè)變量選取做一定限制:(a) V(x, Θ)的自變量應(yīng)是誤差σ; (b) 誤差σ必須與變量x相互獨(dú)立; (c) ε需服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

為簡(jiǎn)化計(jì)算,實(shí)際操作中偏差校正項(xiàng)γ(x, θ)常用p個(gè)初等函數(shù)的線性組合近似表示^[14],即

式中:g_k(x)是由控制混凝土無(wú)腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵因素經(jīng)簡(jiǎn)單組合得到的一些基本函數(shù).

由貝葉斯定理得知,后驗(yàn)分布f(θ|x)(或f(Θ|x))的建立關(guān)鍵,在于確定先驗(yàn)信息f(θ)(或f(Θ))及似然函數(shù)f(x|θ)(或f(x|Θ)).貝葉斯概率模型中一般假定變量(θ, x)的無(wú)信息先驗(yàn)分布服從如下均勻分布^[14].

f(θ)∝1, θ∈φ (6)

f(x)=1/x, x>0 (7)

則似然函數(shù)f(x|θ)可表達(dá)為^[14]

式中:φ(·)為正態(tài)分布函數(shù); ψ(·)為正態(tài)分布的概率密度函數(shù); V_i為抗剪承載力試驗(yàn)值; V_c(x_i)為抗剪承載力模型預(yù)測(cè)值.

為使計(jì)算值與試驗(yàn)值偏差較小,應(yīng)剔除對(duì)整體預(yù)測(cè)結(jié)果影響不顯著的g_k(x).由公式(4)和(5)可知

V-V_c(x)=γ(x,θ)+σε=θ₁g₁(x)+θ₂g₂(x)+…+θ_kg_k(x)+σε (9)

令W=V-V_d,可得

W=g(x)θ+σε (10)

式中:

式(11)～(15)中:n為樣本數(shù).

由最小二乘法^[14]可知,θ'=(g(x)^Tg(x))^-1g(x)^TW,形參數(shù)v=n-p,誤差S²_n=[W-g(x)θ']^T(W-g(x)θ').整合式(8)和(9),可得似然函數(shù)為

由公式(6)和(7)又可知

將式(16)和(17)代入貝葉斯定理,可得

對(duì)等式兩側(cè)θ同時(shí)積分,可得到標(biāo)準(zhǔn)差σ的后驗(yàn)邊緣分布^[14]為

方差σ²的后驗(yàn)邊緣分布密度函數(shù)為

在概率論中,逆Gamma分布的定義為^[14]

對(duì)比式(20)和式(21),可知σ²后驗(yàn)分布為逆Gamma分布,即σ²～I(xiàn)G(v/2,S²_n/2),于是有

由此,可通過(guò)分析方差σ²的變化趨勢(shì)來(lái)判斷修正項(xiàng)對(duì)再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪承載力的決定程度,進(jìn)而剔除對(duì)整體預(yù)測(cè)結(jié)果影響不顯著的g_k(x),達(dá)到參數(shù)剔除目的.

當(dāng)前,已有一些學(xué)者意識(shí)到了鋼筋再生混凝土梁在剪力作用時(shí)受荷機(jī)理可能發(fā)生了變化,為此開(kāi)展了一系列試驗(yàn)探究^[15].本文作者在此整理匯編這些寶貴試驗(yàn),并初步形成了一個(gè)再生混凝土無(wú)腹筋梁受剪承載力試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù).相關(guān)信息見(jiàn)表1.

表1 再生混凝土無(wú)腹筋抗剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)匯總
Tab.1 Test database for steel bar reinforced RAC beams without stirrups under shear loading

從表1中容易看出,各試驗(yàn)梁的參數(shù)基本涵蓋以下信息:混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度(f_c); 粗骨料最大粒徑(s_max); 再生骨料取代率(r); 梁高(h); 剪跨比(a/d); 縱筋配筋率(ρ_s); 縱筋抗拉強(qiáng)度(f_y)及梁抗剪強(qiáng)度(v_u=V_u/bd, 其中V_u、b和d分別為梁極限抗剪承載力、截面寬度和有效高度).需特別指出的是,表1數(shù)據(jù)庫(kù)形成過(guò)程中采用了如下篩選原則:

(1)所有梁在彎曲荷載作用時(shí),必須表現(xiàn)出十分明顯的剪切破壞特征,梁受荷方式必須為三點(diǎn)或四點(diǎn)集中加載.與此同時(shí),梁剪跨比需小于5,因?yàn)槲墨I(xiàn)[37]的研究結(jié)果曾表明剪跨比太大的梁常發(fā)生彎曲破壞;

(2)澆筑所用混凝土必須完整給定水灰比、再生骨料取代率及粗骨料粒徑等信息;

(3)鋼筋再生混凝土梁在制作過(guò)程僅使用了再生粗骨料,細(xì)骨料仍為天然砂;

(4)完整給定了混凝土和縱筋等的強(qiáng)度信息.當(dāng)澆筑或試驗(yàn)條件不滿(mǎn)足上述要求時(shí),梁會(huì)被人為剔除.

經(jīng)篩選后,表1最終包含了206根再生混凝土無(wú)腹筋梁.所有梁的抗壓強(qiáng)度、剪跨比及縱筋配筋率均值分別為32.7 MPa、2.71和1.81%,均在工程運(yùn)用正常范圍內(nèi).

如前文所述,目前大部分研究在預(yù)估再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪強(qiáng)度時(shí),一般沿襲套用傳統(tǒng)鋼筋混凝土梁的半經(jīng)驗(yàn)半理論公式.在這些經(jīng)典理論中,一般并不獨(dú)立剝離壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開(kāi)裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷(xiāo)栓作用的抗剪貢獻(xiàn).以歐洲混凝土模式規(guī)范為例,其無(wú)箍筋受彎構(gòu)件抗剪強(qiáng)度公式源于簡(jiǎn)化修正壓力場(chǎng)理論^[37],即

式中:考慮了參數(shù)β影響的粗骨料顆粒尺寸、截面高度及加載剪跨比等因素對(duì)梁抗剪承載力的影響.

表2列舉了本文收集的8個(gè)主流無(wú)腹筋受彎構(gòu)件抗剪強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式.結(jié)合表1的試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù),可計(jì)算得到各式在預(yù)測(cè)鋼筋再生混凝土梁抗剪強(qiáng)度時(shí)的精度.此處采用均方根誤差RMSE和置信指數(shù)CI作為誤差評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).

式(24)～(25)中:n為試驗(yàn)樣本數(shù); T為試驗(yàn)實(shí)測(cè)值; C為模型計(jì)算值; CI較傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)R²更適合作為誤差評(píng)判指標(biāo)的原因是其對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間差異更敏感^[14].CI的取值范圍一般為(-∞, 1),當(dāng)其值接近1時(shí),表明模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度更高.

表2最后兩列展示了運(yùn)用上述8個(gè)公式預(yù)測(cè)再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪強(qiáng)度的計(jì)算結(jié)果.結(jié)合各模型相互之間比較可發(fā)現(xiàn):(1)現(xiàn)有的鋼筋混凝土梁抗剪強(qiáng)度公式并未考慮壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開(kāi)裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷(xiāo)栓作用四方面貢獻(xiàn),模型都具有一定的局限性;(2)總體來(lái)講,學(xué)者Zsutty、Zhang及ACI318-2014規(guī)范所建議的抗剪強(qiáng)度計(jì)算式具有較高預(yù)測(cè)精度,其余模型的RMSE值一般偏大,CI指標(biāo)也偏離1.0較遠(yuǎn).

基于上述計(jì)算結(jié)果,并考慮到學(xué)者Bentz^[37]在預(yù)測(cè)普通混凝土無(wú)腹筋梁受剪承載力時(shí)曾指出Zsutty模型擁有較高精度、學(xué)者Bazant^[45]報(bào)道ACI模型雖然基于經(jīng)驗(yàn)回歸但能較好描述剪跨比和尺寸效應(yīng)等重要因素作用,本文在此選定Zsutty及ACI318-2014公式為貝葉斯修正的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?Zhang所建議公式精度較ACI318-2014稍高,但形式較為復(fù)雜).

從表2所列公式容易發(fā)現(xiàn),以往學(xué)者普遍認(rèn)為參數(shù)f_c、s_max、a/d、ρ_s及h顯著影響著無(wú)箍筋鋼筋混凝土梁的抗剪承載能力.基于此事實(shí),并結(jié)合再生骨料特性,本文在此選取g₁(x)=ln(e)為修正常數(shù)項(xiàng),g₂(x)～g₈(x)分別為ln(e^r)、ln(f_c)、ln(s_max)、ln(a/d)、ln(d)、ln(1+ρ_sf_y)和ln(f_y/f_c),來(lái)保證貝葉斯概率模型的可靠性及全面性.

由式(4)和(5)可得如下再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪承載力計(jì)算式(注:為簡(jiǎn)化最終計(jì)算模型的數(shù)學(xué)形式,對(duì)v和v_d進(jìn)行了對(duì)數(shù)化處理),即

結(jié)合前述假定g_k(x)函數(shù),可利用貝葉斯定理對(duì)再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪承載能力先驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行修正,計(jì)算結(jié)果列于表3.由該表可知,g₂(x)項(xiàng)的變異系數(shù)最大,而g₁(y)項(xiàng)的變異系數(shù)最小.

表2 再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型歸納
Tab.2 Calculation models for predicting shear strength of steel bar reinforced RAC beams without stirrups

表3 gk(x)計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)計(jì)
Tab.3 Statistics for the calculation results of gk(x)

如前所述,分別選定學(xué)者Zsutty及ACI318-2014規(guī)范所建議公式作為式(26)的先驗(yàn)?zāi)Ｐ蚔_c,代入g_k(x)后,一般可通過(guò)分析方差σ²的變化趨勢(shì),來(lái)剔除對(duì)整體預(yù)測(cè)精度影響不顯著的g_k(x)及其對(duì)應(yīng)的θ_k:當(dāng)σ²變化微小時(shí),說(shuō)明該g_k(x)及其對(duì)應(yīng)的θ_k對(duì)整體預(yù)測(cè)影響不顯著,應(yīng)予以剔除,并重復(fù)上述步驟; 當(dāng)σ²變化明顯時(shí),說(shuō)明該g_k(x)及對(duì)應(yīng)的θ_k對(duì)整體預(yù)測(cè)影響顯著,應(yīng)停止參數(shù)剔除過(guò)程.

表4 參數(shù)剔除過(guò)程
Tab.4 Parameter removal process

表4詳細(xì)展示了以Zsutty模型和ACI318-2014規(guī)范為先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀₁(x)～g₈(x)為預(yù)估控制變量的貝葉斯修正計(jì)算全過(guò)程.通過(guò)系列參數(shù)剔除后,可最終得到如下再生混凝土無(wú)腹筋梁的抗剪強(qiáng)度計(jì)算后驗(yàn)計(jì)算式,即修正的Zsutty模型及ACI318-2014規(guī)范模型為

從上述兩式可發(fā)現(xiàn),經(jīng)貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷過(guò)后,所得預(yù)測(cè)公式仍不顯示包含粗骨料取代率,這說(shuō)明造成本文收集的再生混凝土無(wú)腹筋梁抗剪強(qiáng)度預(yù)測(cè)偏差較大的主要原因是傳統(tǒng)的鋼筋再生骨料混凝土梁的抗剪計(jì)算模型并未被準(zhǔn)確建立.