分部積分法在高職教學中的教學淺談-數(shù)學教學論文

一、分部積分法的引入

教學前，首先要引導學生回顧前面所學的不定積分知識，讓學生進一步熟悉求不定積分和求導的關系，不定積分基本積分公式，性質(zhì)和換元積分法與前面求導法則之間的關系，時刻提醒學生不定積分與求導是緊密聯(lián)系在一起的。教學過程中，在有關分部積分公式引入方面，大部分教師都是直接給出幾個如 ， 這樣目前積不出的例子，然后直接分析被積函數(shù)特點，最后由乘積求導法則推出分部積分公式。筆者認為這樣引入多少有些牽強，給學生的感覺是為了引入公式而專門給出的例子，而不能讓學生明白引入分部積分法的重要性。在教學中我建議從基本初等函數(shù)求不定積分引入分部積分公式。具體教學實踐為：在前面的課程教學中我們已經(jīng)學習了好幾種積分方法，為什么還要繼續(xù)尋求積分方法？因為到目前為止，我們還不能解兩類基本初等函數(shù)（對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)）求不定積分的問題。如求不定積分 ， ，不能用直接積分法和第一換元法求出，而如果利用第二換元法，則上面的不定積分會轉化成求不定積分 ， ，這時再來分析被積函數(shù) ， 的特點。對被積函數(shù) ，如果被積函數(shù)是 就可以直接積出，但如何將 轉變成 ？也就是將 如何轉變?yōu)?？顯然學生立刻想到求導可以將 轉變?yōu)?，也就是要把 導一次而 不導，也就是“前導后不導”，這樣學生自然而然聯(lián)想到了函數(shù)乘積的求導法則。最后再由乘積求導法則引出分部積分公式。這樣引入分部積分法就覺得很自然、很有必要，而且可以讓學生明白引入分部積分公式的緊迫性和重要性。

二、分部積分法在教學中的實踐

在教學實踐中，很多學生聽老師講例題的時候都感覺分部積分法與第一換元法相比較簡單，容易，因此學習的積極性很高，學習興趣很濃。可當自己操作的時，往往不知道如何下手，或者只會依葫蘆畫瓢，但一到綜合應用時就不知什么時候該用何種方法，如何著手。學生學習的積極性也迅速下降，對后面的教學產(chǎn)生嚴重影響。對于分部積分公式，教材上給出了兩個，分別是 、 。針對高職學生基礎較差，對抽象公式比較反感的特點，筆者認為可以只給出第一個公式，因為這個公式比較對稱，可以方便學生記憶，然后分析公式的特點，給出的不定積分不好積出，我們轉化到另一個我們會積的積分上，而轉化的重點就在于 的選取上，通過對 的局部求導，能使積分轉化到我們前面所學的方法上，即 。

分部積分公式雖然簡單，但只是抽象的給出了積分轉化的方法，如何具體的操作，還需要通過大量的例題去引導學生，而這也是學生最感興趣的地方，教師需要很好的抓住學生的這個心理。教師在舉例的時候要由簡到難，循序漸進，切忌跳躍，從簡單的入手，仔細分析如何去選取 ，教師也可從反面來看做一做，如果 選取不當，會使積分變得更加復雜，指導學生得出：在實際操作中，如果選取的 會使積分變的更復雜，則說明選的 出現(xiàn)了錯誤，需要重新再來選取。并且通過大量例題，教師還要引導學生一起去歸納總結，得出一般情況下不同類函數(shù)相乘求不定積分時 的選取方法。如：

當被積函數(shù)為冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和三角函數(shù)乘積時，通常選冪函數(shù)為 。

當被積函數(shù)為冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反三角函數(shù)乘積時通常選對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)為 。

三、分部積分法的課后總結

當分部積分法教學結束后，整個不定積分計算的學習就結束了，這時我們要帶領學生重新再整理所學的積分方法，讓學生理解教學內(nèi)容的安排及計算不定積分的基本思路。讓學生思考這樣的問題：1、在導數(shù)章節(jié)中，我們先給出了乘積求導公式，再學習了復合函數(shù)求導公式，為什么在不定積分章節(jié)的學習中則先學習了換元積分公式，而后才學習分部積分公式呢，教材這樣安排的目的何在？能不能先學分部積分發(fā)，再來學換元積分法呢？2、對于這幾種積分方法，當給出一個不定積分時，我們?nèi)绾芜x取正確的積分方法？對于第一個問題，由于分部積分法中不僅要正確的選擇 ，還需要再湊出 ，而 則用到了湊微元的方法，因此我們需要先學習換元法。這樣可使學生在與導數(shù)的教學內(nèi)容進行對比中，發(fā)覺教材內(nèi)容安排的合理性。同時筆者認為求不定積分的思路，也是首先考慮能否用直接積分法，再考慮換元積分法，最后來考慮分部積分法。如在分部積分法教學后段上，老師們都會講這樣一個例子：求不定積分 ，并把此例歸結為綜合利用換元積分法和分部積分法的典型例子，其具體解題過程如下：

解：令 ，則

原式= = 。

筆者認為這種說法并不一定準確。在解題時，我們首先想到了應用換元法去掉難處理的因子 ，然后才發(fā)現(xiàn)需要再用分部積分法來做。實際上我們可以直接利用分部積分法來做，具體解題過程為：

解： =

從此例也可從側面看出我們對不定積分求解的一般思路。

參考文獻

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