對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中分部積分法的探討

摘要：在高等數(shù)學(xué)中，定積分可以解決很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。但是定積分的計(jì)算卻離不開(kāi)不定積

分的求解，在諸多求不定積分的方法中，其中有一種方法是分部積分法，在分部積分公式

求不定積分時(shí),關(guān)鍵是,的選取，很多教材都介紹了,的選取，

但是都不明確，學(xué)生接受起來(lái)比較困難。本文向大家介紹一種非常簡(jiǎn)單并且容易記憶的關(guān)于

,選取的口訣。

關(guān)鍵詞：不定積分；分部積分；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)

引言

在高等數(shù)學(xué)中，定積分在整個(gè)知識(shí)體系中占有非常重要的地位，他在生活中的應(yīng)用也非常廣泛。但是定積分的計(jì)算確離不開(kāi)不定積分的計(jì)算。因此不定積分的計(jì)算對(duì)于我們來(lái)說(shuō)也非常重要。在不定積分的計(jì)算中，有一種方法叫分部積分，即。我們知道在過(guò)程中關(guān)鍵是,的選取，如果選取得當(dāng)，我們計(jì)算會(huì)非常順利，如果選取不得當(dāng)會(huì)讓我們的不定積分變得越來(lái)越麻煩。例如，如果我們?cè)谶@里選取函數(shù)，計(jì)算會(huì)非常順利，反之，如果選取大家會(huì)發(fā)現(xiàn)我們不但沒(méi)有求出這個(gè)不定積分，反而使我們的不定積分變得越來(lái)越復(fù)雜。所以在不定積分的計(jì)算中,的選取非常關(guān)鍵。   

通過(guò)多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在遇到用分部積分求不定積分時(shí)，被積函數(shù)一般都是三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這五類(lèi)函數(shù)的乘積.對(duì)于它們乘積,的選取，我們總結(jié)了如下的口訣:

 “冪三冪指冪為，對(duì)數(shù)反三自為，三指相乘任意取，分部?jī)纱我祈?xiàng)求”

下面我們就對(duì)口訣中的每一句話(huà)進(jìn)行解釋。

1，冪三冪指冪為

“冪三冪指冪為”是指如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，或者是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，選擇其中的冪函數(shù)做為。

   例如我們?cè)谇蟛欢ǚe分時(shí)，這里被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘，那么由上面的口訣選取這里的冪函數(shù)作為，作為

所以原式=

   如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，如求不定積分這里被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，同樣由上面的口訣選取這里的冪函數(shù)作為，作為

所以原式=

其實(shí)在此選擇冪函數(shù)為的原因是，通過(guò)分部積分公式的轉(zhuǎn)化會(huì)讓冪函數(shù)的次數(shù)降低。

2，對(duì)數(shù)反三自為

“對(duì)數(shù)反三自為”是指如果在兩個(gè)被積函數(shù)相乘中有一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)那么就選取這個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為，另外一個(gè)函數(shù)作為。

例如我們?cè)谇蟛欢ǚe分，這里被積函數(shù)中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，那么由上面的口訣選取對(duì)數(shù)函數(shù)作為，另外一個(gè)函數(shù)作為

      所以原式=

在一般的情況下，如果被積函數(shù)出現(xiàn)了對(duì)數(shù)函數(shù)往往我們會(huì)用分部積分法來(lái)求不定積分。

再比如求不定積分，這里被積函數(shù)可以看作是1乘以，同樣由上面的口訣選取反三角函數(shù)作為，另外一個(gè)函數(shù)1作為

所以原式=

    在此選擇對(duì)數(shù)或者是反三角函數(shù)為的目的是，在應(yīng)用分部積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以把對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，而在不定積分中我們知道，有理函數(shù)的積分是有一個(gè)固定的過(guò)程可以來(lái)求解的。

3，三指相乘任意取，分部?jī)纱我祈?xiàng)求

“三指相乘任意取，分部?jī)纱我祈?xiàng)求”是指如果被積函數(shù)是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘的選取是任意的，但是要進(jìn)行兩次分部，使得等式的右邊也出現(xiàn)要求的不定積分，然后象解一次方程一樣移項(xiàng)求得結(jié)果。在這里要注意的是在兩次分部積分的時(shí)候要選取相同類(lèi)型的函數(shù)作為，例如在第一次分部的時(shí)候若選取了三角函數(shù)作為，那么在第二次分部的時(shí)候仍然要選取三角函數(shù)作為。

我們看這樣一個(gè)例子，求不定積分在這里被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)相乘，這時(shí)候的選取是任意的。不妨選三角函數(shù)作為，作為

則=

移項(xiàng)求得

結(jié)束語(yǔ)

   通過(guò)在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)次口訣的實(shí)際教學(xué)應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方法在向?qū)W生講解分部積分的計(jì)算時(shí)，更容易被學(xué)生接受，也更容易被學(xué)生掌握。

【參考文獻(xiàn)】

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