基于重置溫度方法的雙參數(shù)介尺度氣固傳熱模型構(gòu)建

作者：劉怡琳李鈺余亞雄黃哲慶周強來源：《化工學(xué)報》日期：2022-09-01人氣：1147

氣固流化床反應(yīng)器由于其良好的混合、傳質(zhì)和傳熱性能，在能源化工領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，掌握氣固兩相流系統(tǒng)的流動和傳熱特性對于提高工業(yè)設(shè)備的性能具有重要意義。決定反應(yīng)器動量傳遞及傳熱傳質(zhì)的關(guān)鍵參數(shù)為曳力、傳熱及傳質(zhì)系數(shù)。因此國內(nèi)外有很多研究者針對上述系數(shù)開展了廣泛的理論、實驗及數(shù)值模擬研究，以獲得上述系數(shù)的計算關(guān)聯(lián)式。然而，現(xiàn)有研究中一些常用的關(guān)聯(lián)式大都是針對于顆粒位置隨機均勻分布的氣固兩相流系統(tǒng)[1]。氣固兩相在非線性相間曳力和固相應(yīng)力的作用下，很容易產(chǎn)生非均勻的介尺度流動結(jié)構(gòu)，如顆粒聚團等[2-3]。研究表明，計算中未考慮介尺度結(jié)構(gòu)的影響會導(dǎo)致高估氣固相間曳力、傳熱和傳質(zhì)[4-6]。

由于氣固系統(tǒng)固有的復(fù)雜性，系統(tǒng)研究介尺度結(jié)構(gòu)中氣固傳熱現(xiàn)象的實驗較少見諸于文獻[7]。在過去的20年中，計算流體動力學(xué)（computational fluid dynamics, CFD）已經(jīng)成為模擬氣固系統(tǒng)中流動和傳熱的越來越強大的工具[8]。在模擬中為了解析介尺度結(jié)構(gòu)對流動及傳熱傳質(zhì)的影響，方法之一是采用足夠小的計算網(wǎng)格（通常為數(shù)倍的顆粒直徑）以滿足近似均勻假設(shè)[9-10]，然而，對于大型工業(yè)反應(yīng)器而言，細網(wǎng)格模擬的計算成本是無法承受的。因此在實際應(yīng)用中，研究人員通常采用粗網(wǎng)格雙流體法（two-fluid model, TFM）或多相質(zhì)點網(wǎng)格方法 (multi-phase particle-in-cell, MP-PIC)模擬大型流化床，但粗網(wǎng)格模擬無法解析介尺度結(jié)構(gòu)的影響，即微尺度的近似均勻模型在有介尺度結(jié)構(gòu)存在的粗網(wǎng)格模擬中不再適用，這就需要為適合工業(yè)尺度的粗網(wǎng)格模擬方法提供可以考慮亞網(wǎng)格非均勻性的介尺度模型，以得到合理的預(yù)測結(jié)果[11]。

目前，在不考慮傳熱的氣固兩相流研究中，研究者已揭示了構(gòu)建介尺度曳力、介尺度應(yīng)力等模型的必要性[12]，并基于能量最小多尺度方法（energy-minimization multi-scale，EMMS）[13-15]、過濾方法[16-18]等開發(fā)了氣固曳力介尺度模型。然而，對介尺度氣固相間傳熱的研究還比較少。Dong等[19]采用EMMS方法研究了介尺度結(jié)構(gòu)對循環(huán)流化床提升管內(nèi)氣固傳質(zhì)的影響，他們發(fā)現(xiàn)，介尺度結(jié)構(gòu)會極大地影響傳質(zhì)。Hou等[20]使用EMMS方法研究了快速流化床中非均勻流動結(jié)構(gòu)與傳遞系數(shù)之間的關(guān)系。他們發(fā)現(xiàn)，介尺度結(jié)構(gòu)對曳力系數(shù)、傳質(zhì)系數(shù)和傳熱系數(shù)有很大影響，他們指出，傳統(tǒng)的均勻模型在有非均勻流動結(jié)構(gòu)存在時不再適用。魯波娜等[21]基于EMMS多尺度動量傳遞及傳熱模型對多產(chǎn)異構(gòu)烷烴催化裂化反應(yīng)器進行了模擬，研究表明，相比于傳統(tǒng)的模型，采用多尺度模型可以更為準(zhǔn)確預(yù)測反應(yīng)器內(nèi)的流動結(jié)構(gòu)及溫度分布。Shu等[22]考慮了顆粒聚團結(jié)構(gòu)對傳熱的影響，對傳統(tǒng)傳熱系數(shù)模型進行了改進，采用改進的氣固曳力模型及氣固傳熱系數(shù)模型對下行床反應(yīng)器進行了模擬，研究表明采用優(yōu)化模型可以定性捕捉下行床的關(guān)鍵傳熱特性。Guo等[23]基于計算流體力學(xué)-離散單元法（computational fluid dynamics-discrete element method, CFD-DEM）研究了聚團在氣固傳熱中的作用，他們定義了一個傳熱修正量來量化由聚團引起的局部不均勻性的影響，并提出了一個基于假定形狀概率密度分布函數(shù)的統(tǒng)計模型。Lane等[24-25]通過過濾雙流體模型（TFM）的計算結(jié)果，開發(fā)了一個用于浸沒水平圓柱體的氣固兩相流傳熱的亞網(wǎng)格模型。在他們的模型中，采用固含率、固相速度、圓柱體幾何形狀（直徑和間距）和Peclet數(shù)來封閉Nusselt數(shù)。Rauchenzauner等[26]提出了一個基于漂移溫度的過濾相間傳熱模型。

Agrawal等[27]構(gòu)建了基于細網(wǎng)格TFM模擬的過濾相間傳熱模型。他們指出，過濾后的介尺度相間傳熱系數(shù)比微觀相間傳熱系數(shù)小1~2個數(shù)量級，他們將微觀相間傳熱系數(shù)的修正量（記為Q）建模為過濾固含率和過濾器尺寸的函數(shù)，在其模型中，過濾尺度小于等于16.7dp（dp為顆粒直徑）時不再對傳熱系數(shù)進行修正（Q = 0）。Huang等[28]通過過濾細網(wǎng)格TFM模擬數(shù)據(jù)，將Q構(gòu)建為過濾固含率、過濾器尺寸以及兩相之間的無量綱過濾溫差的函數(shù)，在其模型中，過濾尺度小于等于8.3dp時不再對傳熱系數(shù)進行修正（Q = 0）。Li等[29]對Huang等的模型進行了修正，取消了Q在（0,1）之間的限制。Lei等[30]通過過濾CFD-DEM數(shù)據(jù)，構(gòu)建了介尺度傳熱系數(shù)修正量與過濾固含率、過濾器尺寸及氣固相間溫差的函數(shù)關(guān)系。但Huang等[28]、Li等[29]模型中的無量綱過濾溫差需要迭代獲得，在實際的粗網(wǎng)格應(yīng)用中存在困難，Lei等[30]的模型對過濾溫差的無量綱方法（除以0.0001 K使得大部分的氣固溫差處于0~10之間）缺乏普適性，同樣導(dǎo)致模型應(yīng)用困難。

另外，在現(xiàn)有的傳熱介尺度模型研究中，如何保持整個系統(tǒng)的熱平衡是一個非常復(fù)雜的問題。為了保證氣固兩相間存在持續(xù)的相間溫差，現(xiàn)有文獻中使用了不同的方法。Rauchenzauer等[26]在每個時間步讓氣相溫度保持線性增加狀態(tài)并在固相中設(shè)置熱匯。Lane等[24-25]和Lei等[30]在固相中添加了熱源項，熱源項分別以1 K/s和0.1 K/s的速率加熱氣固系統(tǒng)。他們指出，加熱速率的值是任意的，其大小不會影響模型結(jié)果。Agrawal等[27]和Huang等[28]在固相和氣相中分別添加了熱源和熱匯項，他們也指出，所構(gòu)建模型對所施加的熱源熱匯項的大小不敏感。以上方法可以實現(xiàn)氣固相間溫差的維持，然而如何維持氣固相間溫差以獲得更符合真實物理過程（氣固兩相自由傳熱）的介尺度傳熱模型仍是一個問題。

針對以上問題，本文提出了一種重置溫度的方法以維持氣固溫差，使得氣固兩相可自由換熱，并基于細網(wǎng)格CFD-DEM數(shù)據(jù)過濾獲得了粗網(wǎng)格方便使用的介尺度氣固相間傳熱系數(shù)修正模型。

1 細網(wǎng)格CFD-DEM傳熱計算

CFD-DEM方法是基于歐拉-拉格朗日坐標(biāo)系的一種離散模擬方法，在歐拉坐標(biāo)系下求解氣相平均方程，在拉格朗日坐標(biāo)系下求解顆粒方程，分別追蹤單個顆粒的受力、運動及傳熱。有研究表明，CFD-DEM采用小至1.75~3倍顆粒直徑（1.75dp~3dp）的網(wǎng)格系統(tǒng)可以獲得與解析到顆粒表面的直接數(shù)值模擬（particle resolved-direct numerical simulation, PR-DNS）近似的計算結(jié)果[31-32]。因此細網(wǎng)格（1.75dp ~3dp）CFD-DEM計算可以用來為粗網(wǎng)格計算提供非均勻介尺度封閉模型。本文的CFD-DEM模擬通過對開源軟件MFIX（版本19.2.2，https://mfix.netl.doe.gov/)進行二次開發(fā)實現(xiàn)，顆粒相和氣相的動量、質(zhì)量控制方程及求解過程可參考Garg等[33] 的研究。顆粒為典型的Geldart A類顆粒，擬二維周期邊界計算域垂直方向長度Ly 為960dp，橫向Lx 為240dp，展向Lz 為6dp，計算網(wǎng)格數(shù)量為384×96×2，對應(yīng)x,y方向的網(wǎng)格尺寸為2.5dp。為了平衡周期域上的重力，在垂直方向上設(shè)置了恒定氣體流量邊界條件。整體固含率為0.05，初始時刻顆粒在計算域中隨機均勻分布。為了保證氣固兩相間存在持續(xù)的相間溫差，本文中選取了兩種方法：方法一，參考文獻中的方法給氣相能量方程添加熱源項，該熱源項以0.1 K/s的速度加熱氣體，該設(shè)定值的大小不影響計算結(jié)果[27-28]；方法二，每隔固定時間重置氣體溫度，所間隔時間為1 $τ_{p}^{s t}$ （ $τ_{p}^{s t}$ 為顆粒弛豫時間，單位為s， $τ_{p}^{s t} = ρ_{p} d_{p}^{2} / 18 μ_{g}$ ，其中，ρp為顆粒密度；dp為顆粒直徑；μg為氣相黏度），氣固兩相在1 $τ_{p}^{s t}$ 內(nèi)自由換熱。在計算初始時，氣相溫度設(shè)置為1000 K，固相溫度設(shè)置為0 K，氣固兩相間傳熱由能量方程控制，氣相的能量方程如式(1)所示，具體可參考Lei等[30]和Hou等[34] 的研究。

$\frac{? (ρ_{g} C_{p g} ?_{g} T_{g})}{? t} + ? ? (ρ_{g} C_{p g} ?_{g} T_{g} v_{g}) = ? ? (k_{g}^{*} ?_{g} ? T_{g}) + I_{T} + S_{g}$ (1)

式中，Cpg為氣相比熱容；ρg為氣相密度；IT為氣固相間傳熱量， $I_{T} = \frac{\sum_{i \in c e l l} h_{i, c o n v} π d_{p}^{2} (T_{s, i} - T_{g})}{V_{c e l l}}$ ； $h_{i, c o n v}$ 為顆粒尺度的氣固相間對流傳熱系數(shù)， $h_{i, c o n v} = \frac{k_{g}^{*} N u}{d_{p}}$ ； $k_{g}^{*}$ 為氣相有效熱導(dǎo)率；Nu為Nusselt數(shù)，Nu由Gunn的關(guān)聯(lián)式[35]計算獲得；Ts、Tg分別為固相和氣相溫度； $v_{g}$ 為氣相速度；Vcell為計算網(wǎng)格體積；Sg為氣相中添加的熱源項。為了簡化問題，在本研究中假設(shè)顆粒溫度不變，忽略顆粒間傳熱[23]，僅討論氣固兩相相間傳熱。氣固兩相在1 $τ_{p}^{s t}$ 內(nèi)在能量方程控制下進行傳熱，由能量方程可計算獲得氣固兩相溫度（固相溫度恒定），每隔0.2 $τ_{p}^{s t}$ 輸出氣相、固相溫度。計算每進行1 $τ_{p}^{s t}$ ，將氣相溫度重置為1000 K（該值在傳熱穩(wěn)定后不影響統(tǒng)計結(jié)果），重復(fù)上述傳熱計算及數(shù)據(jù)輸出過程，直至計算結(jié)束。主要計算參數(shù)及設(shè)置如表1所示。

表1 主要計算參數(shù)及設(shè)置

Table 1 Parameters and settings

參數(shù)	數(shù)值
顆粒直徑	7.5×10-5 m
計算域尺寸	240dp × 960dp× 6dp
網(wǎng)格尺寸	2.5dp × 2.5dp × 3dp
重力加速度	9.81 m/s2
顆粒密度	1500 kg/m3
法向彈性系數(shù)	5 N/m
恢復(fù)系數(shù)	0.8
顆粒間碰撞的切向阻尼系數(shù)與法向阻尼系數(shù)之比	0.5
顆粒間摩擦系數(shù)	0.5
顆粒比熱容	840 J/(kg·K)
顆粒熱導(dǎo)率	1.4 W/(m·K)
氣相密度	1.3 kg/m3
氣相黏度	1.8×105 Pa·s
氣相比熱容	1010 J/(kg·K)
氣相熱導(dǎo)率	0.02552 W/(m·K)
顆粒弛豫時間	0.026 s
整體固含率	0.05
初始固相溫度	0 K
方法一初始氣相溫度	0.1 K
方法二重置氣相溫度	1000 K
顆粒數(shù)目	1.3201×105
曳力模型	Gidaspow_blend

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計算持續(xù)50 $τ_{p}^{s t}$ ，每0.2 $τ_{p}^{s t}$ 輸出一次結(jié)果，計算20 $τ_{p}^{s t}$ 后全場平均滑移速度、平均氣固溫差等統(tǒng)計數(shù)據(jù)達到穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)達到統(tǒng)計穩(wěn)態(tài)[36-37]，后30 $τ_{p}^{s t}$ 的數(shù)據(jù)用于模型構(gòu)建。模型通過對計算結(jié)果進行過濾、擬合獲得，所采用的空間過濾方法與Agrawal等[27]相同，具體可參考文獻[9,27]，研究中所采用的過濾尺度為5dp、10dp、17.5 dp、20 dp、25 dp和40 dp。

2 結(jié)果與討論

與文獻[27-29]中相同，本文針對介尺度傳熱系數(shù)修正量Q進行建模。Q定義為：

$Q = 1 - \frac{γ_{f i l t e r}}{γ (\overset{ˉ}{?_{s}}, |\overset{?}{v_{g}} - \overset{?}{v_{s}}|)} = 1 - \frac{\overset{ˉ}{γ (T_{s} - T_{g})}}{γ (\overset{ˉ}{?_{s}}, |\overset{?}{v_{g}} - \overset{?}{v_{s}}|) (\overset{?}{T_{s}} - \overset{?}{T_{g}})}$ (2)

式中， $γ_{f i l t e r}$ 為過濾尺度上的過濾氣固相間傳熱系數(shù)， $γ_{f i l t e r} = \frac{\overset{ˉ}{γ (T_{s} - T_{g})}}{(\overset{?}{T_{s}} - \overset{?}{T_{g}})}$ ； $γ$ 為微觀氣固相間傳熱系數(shù)， $γ = \frac{6 k_{g}^{*} ?_{s} N u}{{d_{p}}^{2}}$ ； $?_{s}$ 為固含率； ${\overset{ˉ}{?}}_{s}$ 為過濾固含率； $\overset{?}{v_{g}}$ 、 $\overset{?}{v_{s}}$ 分別為氣相和固相過濾速度; $\overset{?}{T_{g}}$ 、 $\overset{?}{T_{s}}$ 分別為氣相和固相過濾溫度。過濾方法與文獻[27-29]一致。

2.1 兩種維持氣固溫差方法的討論

為了便于表述，將方法一稱為熱源項方法，方法二稱為重置溫度方法。圖1為兩種溫度設(shè)置方法下的固含率分布，即特定固含率對應(yīng)的網(wǎng)格數(shù)量占總計算網(wǎng)格數(shù)量的百分比?？梢钥吹?，在本計算中，固含率在（0.025,0.03）范圍內(nèi)的網(wǎng)格數(shù)量較多，存在峰值，兩種方法下固含率占比分布基本一致，流動結(jié)構(gòu)基本一致，在此前提下開展兩種維持氣固溫差的方法的對比和討論是有效的。

圖1

圖1 兩種方法下的固含率分布

Fig.1 The distribution of solid volume fraction under two methods

圖2為兩種方法下計算域中平均氣固溫差隨時間的變化，由圖可知，兩種方法均可以使得系統(tǒng)中存在一定的氣固溫差。方法一可以使得系統(tǒng)中氣固溫差在計算達到穩(wěn)定后處于較為穩(wěn)定的狀態(tài)，波動幅度不大；方法二則是在每次重置氣體溫度后，氣固溫差逐漸下降，直至下一次重置氣體溫度。值得注意的是，兩種方法得到的平均氣固溫差的絕對值不同，但在氣固兩相傳熱穩(wěn)定后該溫差的大小不影響Q的統(tǒng)計結(jié)果[27-28]。

圖2

圖2 兩種方法下計算域中平均氣固溫差隨時間的變化

Fig.2 The average gas-solid temperature difference in the calculation domain versus time under the two methods

為了對比兩種方法對計算域內(nèi)氣固兩相傳熱的影響，本文統(tǒng)計了不同局部固含率的傳熱量占計算域總傳熱量的百分比，以及局部單位體積傳熱量（某網(wǎng)格內(nèi)的傳熱量除以網(wǎng)格體積）與總單位體積傳熱量（總傳熱量除以總體積）之比，如圖3、圖4所示[為了凸顯兩種方法在大固含率下的區(qū)別，對縱坐標(biāo)取對數(shù)，如圖3(b)和圖4(b)所示]。由圖3可知，兩種方法下傳熱量占比均在0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03時存在峰值，即兩種方法下占總網(wǎng)格數(shù)11.0%（圖1）的固含率處于0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03的網(wǎng)格分別貢獻了25.5%（重置溫度方法）和18.65%（熱源項方法）的傳熱量。由圖4可知，局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比同樣在0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03時存在峰值，重置溫度方法中該固含率范圍內(nèi)局部單位體積傳熱量是總單位體積傳熱量的2.32倍，熱源項方法中該固含率范圍內(nèi)局部單位體積傳熱量是總單位體積傳熱量的1.71倍。重置溫度方法在固含率較小時（ $?_{s}$ < 0.03）局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比大于熱源項方法，而在固含率 $?_{s}$ > 0.03的范圍內(nèi)該比值小于熱源項方法，二者差異在固含率大于0.1時尤為明顯。

圖3

圖3 計算域內(nèi)總傳熱量在不同局部固含率下的分布

Fig.3 The distribution of total heat transfer in the calculation domain under different local solid volume fraction

圖4

圖4 局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比

Fig.4 The ratio of local gas-solid heat transfer per unit volume to the total gas-solid heat transfer per unit volume

為了分析0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03的特殊性，圖5展示了某時刻的顆粒位置圖和固含率云圖，可以看到 0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03（圖5右側(cè)圖片綠色部分）的網(wǎng)格大多處于顆粒聚團邊界位置，由此，下文將固含率范圍為0.025≤ $?_{s}$ ≤0.03、 $?_{s}$ <0.025和 $?_{s}$ >0.03的區(qū)域分別稱為界面、稀相和濃相區(qū)域。事實上，界面所對應(yīng)固含率范圍受整體固含率影響較大，本文整體固含率為0.05，所以界面所對應(yīng)的固含率值較小。結(jié)合圖3~圖5可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法均表明聚團界面位置的局部單位體積氣固傳熱量與總單位體積傳熱量之比最大，重置溫度方法在稀相和界面位置的局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比大于熱源項方法，而在濃相位置的局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比小于熱源項方法。為了更直觀地了解本文所研究的系統(tǒng)中傳熱的分布情況，圖6統(tǒng)計了稀相、界面和濃相的網(wǎng)格數(shù)量占比（除去固含率為0的網(wǎng)格）及傳熱量占比，可以看到兩種方法的固含率占比一致，而傳熱量占比卻有所區(qū)別。兩種方法的結(jié)果中，濃相、界面和稀相的網(wǎng)格占比分別為55.3%、11%和33.7%，而其對應(yīng)的傳熱量占比卻差別顯著。在重置溫度方法下，濃相、界面和稀相分別貢獻了36.7%、25.5%和37.8%的傳熱量；熱源項方法下，濃相、界面和稀相分別貢獻了55.4%、18.6%和26.0%的傳熱量?？偟貋碚f，重置溫度方法下稀相和界面的傳熱量占比高于熱源項方法，而濃相的傳熱量占比則低于熱源項方法。究其原因，熱源項方法在氣相中添加的熱源（Sg）由式（3）計算：

圖5

圖5 某時刻顆粒位置及固含率分布

Fig.5 Particle position and distribution of solid volume fraction at a certain time

$S_{g} = \dot{Π} \frac{{〈?_{s}〉}_{d} ?_{g}}{{〈?_{g}〉}_{d}}$ (3)

式中， $\dot{Π}$ 為氣相的能量輸入速率，該設(shè)定值的大小不影響計算結(jié)果； ${〈?_{s}〉}_{d}$ 為計算域整體固含率； ${〈?_{g}〉}_{d}$ 為計算域整體氣含率。由式（3）可知，氣相所加熱源項的大小與所在網(wǎng)格的氣含率（ $?_{g}$ ）有關(guān)，不論網(wǎng)格內(nèi)真實傳熱過程如何，均有熱源加入促使其傳熱。當(dāng)體系中存在化學(xué)反應(yīng)時，熱源項方法可能與實際較為吻合；當(dāng)體系中不存在化學(xué)反應(yīng)時，在濃相區(qū)域中氣固相間傳熱一般會較快完成致使氣固相間溫差較小進而傳熱量減少，但熱源項方法會強迫濃相區(qū)域保持一定的溫差進而促進濃相區(qū)域的氣固相間傳熱。重置溫度方法保持了氣固相間自由傳熱特性，僅通過反復(fù)重置溫度獲得足夠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來完成建模。在無化學(xué)反應(yīng)的氣固傳熱系統(tǒng)中，氣固兩相間由于溫差的存在會在能量方程控制下自發(fā)傳熱，該過程與本文所提出的重置溫度方法所描述的物理過程類似，因此采用重置溫度方法所構(gòu)建的介尺度傳熱模型可能會具有較高的準(zhǔn)確度。而在有化學(xué)反應(yīng)的氣固傳熱系統(tǒng)中，由于反應(yīng)和流動、傳熱之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，熱源項方法所構(gòu)建模型是否能較好地近似系統(tǒng)內(nèi)的傳熱過程尚需更多的模擬或?qū)嶒瀬磉M行分析和驗證。

圖6

圖6 稀相、界面和濃相的網(wǎng)格數(shù)量占比及傳熱量占比

Fig.6 The percentage of grid number and heat transfer of dilute phase, interface and dense phase

2.2 介尺度氣固傳熱模型構(gòu)建

熱源項方法下的模型構(gòu)建已在相關(guān)文獻中完成，本節(jié)將對重置溫度方法構(gòu)建介尺度氣固傳熱模型。由圖2（b）可知，重置溫度方法的溫差隨時間而變化，首先需要找到建?？梢允褂玫臄?shù)據(jù)。圖7為過濾尺度 $Δ$ 為5dp、10dp及17.5dp時，重置溫度后不同時刻過濾獲得的Q隨過濾固含率的變化，圖中，1st、2nd、3rd、4th、5th分別對應(yīng)重置溫度后的0.2 $τ_{p}^{s t}$ 、0.4 $τ_{p}^{s t}$ 、0.6 $τ_{p}^{s t}$ 、0.8 $τ_{p}^{s t}$ 、1.0 $τ_{p}^{s t}$ 時刻。可以看到，每次重置溫度后的最后三個時刻（重置溫度后的0.6 $τ_{p}^{s t}$ 、0.8 $τ_{p}^{s t}$ 、1.0 $τ_{p}^{s t}$ ）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)變化不大，因此在后續(xù)建模過程中采用重置溫度后的后三個時刻的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計建模。

圖7

圖7 重置溫度后不同時刻的過濾Q隨過濾固含率的變化

Fig.7 The change of filtered Q with the filtered solid volume fraction at different time after resetting the temperature

圖8為兩種方法在不同尺度下過濾得到的Q的平均值隨過濾固含率的變化，兩種方法下獲得的Q有所不同，在固含率較大時，二者差異更為明顯，整體上重置溫度方法的Q大于熱源項方法獲得的Q。

基于圖8的數(shù)據(jù)，可將Q構(gòu)建為過濾固含率和過濾尺度的函數(shù)，重置溫度方法獲得的模型擬合效果如圖9所示，模型為：

圖8

圖8 兩種方法在不同尺度下獲得的Q的平均值隨過濾固含率的變化

Fig.8 The average value of Q obtained by the two methods varied with the filtered solid volume fraction at different filter sizes

$Q_{f i t t i n g} ({\overset{ˉ}{?}}_{s}, Δ / d_{p}) = \{\begin{array}{l} \frac{0.132 - 2.257 {\overset{ˉ}{?}}_{s} - 3.087 \times 10^{- 4} Δ / d_{p} - 0.583 {\overset{ˉ}{?}}_{s}^{2} + 2.965 \times 10^{- 5} {(Δ / d_{p})}^{2} + 0.728 {\overset{ˉ}{?}}_{s} Δ / d_{p}}{1 - 2.915 {\overset{ˉ}{?}}_{s} - 1.640 \times 10^{- 2} Δ / d_{p} + 9.358 {\overset{ˉ}{?}}_{s}^{2} + 3.032 \times 10^{- 4} {(Δ / d_{p})}^{2} + 0.680 {\overset{ˉ}{?}}_{s} Δ / d_{p}} 0 < {\overset{ˉ}{?}}_{s} < 0.24 \\ \frac{- 8.847 \times 10^{- 2} - 0.463 {\overset{ˉ}{?}}_{s} + 0.104 Δ / d_{p} + 1.141 {\overset{ˉ}{?}}_{s}^{2} + 2.780 \times 10^{- 4} {(Δ / d_{p})}^{2} - 0.191 {\overset{ˉ}{?}}_{s} Δ / d_{p}}{1 - 3.605 {\overset{ˉ}{?}}_{s} + 0.085 Δ / d_{p} + 3.677 {\overset{ˉ}{?}}_{s}^{2} + 4.128 \times 10^{- 4} {(Δ / d_{p})}^{2} - 0.159 {\overset{ˉ}{?}}_{s} Δ / d_{p}} 0.24 \leq {\overset{ˉ}{?}}_{s} \leq 0.55 \\ 0 {\overset{ˉ}{?}}_{s} > 0.55 \end{array}$ (4)

值得注意的是，由圖9可知，當(dāng)過濾尺度較大時，如為25dp及40dp時，過濾固含率的最大值小于小過濾尺度的最大值。造成此現(xiàn)象的原因為計算區(qū)域有限（240dp × 960dp），過濾尺度為40dp時已占據(jù)了橫向尺寸的1/6，很難出現(xiàn)粗網(wǎng)格上的高固含率。加之全場整體固含率為0.05，隨著過濾尺度的增大，粗網(wǎng)格內(nèi)的固含率會逐漸接近整體固含率。

圖9

圖9 重置溫度方法下介尺度模型擬合Q和真實Q隨過濾固含率的變化

Fig.9 The variation of fitting Q obtained by the mesoscale model and real Q with the filtered solid volume fraction under the resetting temperature method

2.3 介尺度氣固傳熱模型先驗分析

本節(jié)將對上述模型進行先驗分析，評價指標(biāo)采用Pearson相關(guān)系數(shù)[36]，其計算式為：

$r (x, y) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overset{ˉ}{x}) (y_{i} - \overset{ˉ}{y})}{\sqrt[]{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overset{ˉ}{x})}^{2}} \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overset{ˉ}{y})}^{2}}}$ (5)

式中，x、y分別為模型預(yù)測值（Qpredict）的數(shù)據(jù)集和粗網(wǎng)格過濾值（Qexact）的數(shù)據(jù)集； $\overset{ˉ}{x}$ 、 $\overset{ˉ}{y}$ 分別為數(shù)據(jù)集的平均值。采用本文所構(gòu)建的模型[式(4)]對不同過濾尺度和固含率下的Q進行預(yù)測，預(yù)測值（Qpredict）與基于細網(wǎng)格CFD-DEM模擬的粗網(wǎng)格過濾值（Qexact）的Pearson相關(guān)系數(shù)如圖10所示，本文所構(gòu)建模型的表現(xiàn)明顯優(yōu)于Agrawal等[27]的模型，而且隨著過濾尺度的增大模型表現(xiàn)在持續(xù)變好。這是因為本文的模型是基于細網(wǎng)格CFD-DEM（網(wǎng)格尺寸為2.5dp）的模擬數(shù)據(jù)，而Agrawal等[27]的細網(wǎng)格模擬采用的網(wǎng)格尺寸為16.67dp，所構(gòu)建的模型是基于至少2倍的基礎(chǔ)網(wǎng)格即33.34dp的數(shù)據(jù)，因此理論上模型適用范圍為過濾尺度大于等于33.34dp，因此導(dǎo)致其模型在小過濾尺度時表現(xiàn)不如本文所構(gòu)建的模型。更重要的是，采用網(wǎng)格大小為16.67dp的模擬數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，本身已完全忽略了比16.67dp尺度更小的非均勻結(jié)構(gòu)對更大尺度上流動和傳熱的影響，因此所構(gòu)建模型準(zhǔn)確度較低。事實上，大量研究表明，對氣固兩相流動進行完全解析需要在3dp左右的網(wǎng)格尺寸[38-39]。另外，與文獻中所采用的熱源項方法不同，本文所構(gòu)建的模型基于重置溫度方法，數(shù)據(jù)源的不同也是導(dǎo)致模型表現(xiàn)不同的原因之一。最后，相較于TFM，CFD-DEM可以追蹤顆粒的運動，計算得到的介尺度結(jié)構(gòu)更為準(zhǔn)確。圖11為所構(gòu)建模型在不同過濾尺度下模型預(yù)測值（Qpredict）與粗網(wǎng)格過濾值（Qexact）相對誤差的概率密度分布?？梢钥吹诫S著過濾尺度的增大，相對誤差逐漸向0集中，即在模型應(yīng)用中，在本文所研究的網(wǎng)格尺寸范圍內(nèi)，所采用的粗網(wǎng)格尺寸越大，模型的表現(xiàn)越好。本文所構(gòu)建的模型可適用于過濾尺度小于等于40dp時的粗網(wǎng)格氣固傳熱計算。另外需要指出的是，本文所構(gòu)建的模型是基于周期性邊界的模擬數(shù)據(jù)，未考慮壁面效應(yīng)，在實際應(yīng)用過程中，若壁面剪切效應(yīng)較強，則可能會存在誤差。

圖10

圖10 不同過濾尺度下模型預(yù)測值（Qpredict）與粗網(wǎng)格過濾值（Qexact）的Pearson相關(guān)系數(shù)

Fig.10 Pearson correlation coefficients between Qpredict and Qexact under different filter sizes

圖11

圖11 不同過濾尺度下模型預(yù)測值（Qpredict）與粗網(wǎng)格過濾值（Qexact）相對誤差的概率密度分布

Fig.11 The probability density distribution（PDF） of relative errors between Qpredict and Qexact at different filter sizes

3 結(jié) 論

本文采用CFD-DEM研究了氣固兩相流相間傳熱問題，比較了兩種維持氣固相間傳熱溫差的方法的優(yōu)缺點。方法一中給氣相能量方程添加了熱源項；方法二中每間隔一段時間進行氣相溫度重置，重置后氣固兩相進行自由傳熱?；谥刂脺囟确椒ǖ倪^濾數(shù)據(jù)構(gòu)建了適用于粗網(wǎng)格計算的氣固相間介尺度傳熱模型，先驗分析表明所構(gòu)建模型具有優(yōu)越性。具體結(jié)論如下。

（1）聚團界面位置的局部單位體積氣固傳熱量占比最大，重置溫度方法在稀相和界面位置的局部單位體積傳熱量與總單位體積傳熱量之比大于熱源項方法，而在濃相位置該比值小于熱源項方法。分析表明重置溫度方法更適合計算氣固相間自由傳熱的情況。

（2）基于過濾固含率和過濾尺度構(gòu)建了介尺度氣固相間傳熱系數(shù)修正因子的封閉模型，所構(gòu)建模型的Pearson相關(guān)系數(shù)隨過濾尺度的增大而增大，所構(gòu)建模型預(yù)測得到的Q與真實Q的Pearson相關(guān)系數(shù)高于文獻中已有的雙參數(shù)模型，模型適用于粗網(wǎng)格尺度小于等于40倍顆粒直徑的氣固兩相流傳熱計算。

由于介尺度傳熱模型的后驗十分復(fù)雜，涉及介尺度曳力模型的選擇與驗證，目前文獻中尚未有介尺度傳熱模型的后驗報道。后續(xù)將繼續(xù)探索介尺度傳熱模型的后驗方法，開展相關(guān)的后驗研究，以進一步評估所構(gòu)建介尺度傳熱模型在實際應(yīng)用中的表現(xiàn)。

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